Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
1cnd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ 1 โ โ ) |
2 |
|
simpl1 |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ๐ด โ โ ) |
3 |
1 2
|
negsubd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( 1 + - ๐ด ) = ( 1 โ ๐ด ) ) |
4 |
|
1rp |
โข 1 โ โ+ |
5 |
4
|
a1i |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ 1 โ โ+ ) |
6 |
|
simpl3 |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ยฌ 1 = ๐ด ) |
7 |
|
simpl2 |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( abs โ ๐ด ) = 1 ) |
8 |
1 2 1
|
sub32d |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( ( 1 โ ๐ด ) โ 1 ) = ( ( 1 โ 1 ) โ ๐ด ) ) |
9 |
|
1m1e0 |
โข ( 1 โ 1 ) = 0 |
10 |
9
|
oveq1i |
โข ( ( 1 โ 1 ) โ ๐ด ) = ( 0 โ ๐ด ) |
11 |
|
df-neg |
โข - ๐ด = ( 0 โ ๐ด ) |
12 |
10 11
|
eqtr4i |
โข ( ( 1 โ 1 ) โ ๐ด ) = - ๐ด |
13 |
8 12
|
eqtrdi |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( ( 1 โ ๐ด ) โ 1 ) = - ๐ด ) |
14 |
|
1cnd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ 1 โ โ ) |
15 |
|
simp1 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ๐ด โ โ ) |
16 |
14 15
|
subcld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( 1 โ ๐ด ) โ โ ) |
17 |
16
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( 1 โ ๐ด ) โ โ ) |
18 |
|
ax-1cn |
โข 1 โ โ |
19 |
|
subeq0 |
โข ( ( 1 โ โ โง ๐ด โ โ ) โ ( ( 1 โ ๐ด ) = 0 โ 1 = ๐ด ) ) |
20 |
18 19
|
mpan |
โข ( ๐ด โ โ โ ( ( 1 โ ๐ด ) = 0 โ 1 = ๐ด ) ) |
21 |
20
|
biimpd |
โข ( ๐ด โ โ โ ( ( 1 โ ๐ด ) = 0 โ 1 = ๐ด ) ) |
22 |
21
|
con3dimp |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ยฌ ( 1 โ ๐ด ) = 0 ) |
23 |
22
|
neqned |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( 1 โ ๐ด ) โ 0 ) |
24 |
23
|
3adant2 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( 1 โ ๐ด ) โ 0 ) |
25 |
24
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( 1 โ ๐ด ) โ 0 ) |
26 |
17 25
|
recrecd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( 1 / ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = ( 1 โ ๐ด ) ) |
27 |
14 16 24
|
div2negd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( - 1 / - ( 1 โ ๐ด ) ) = ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) ) |
28 |
27
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( - 1 / - ( 1 โ ๐ด ) ) = ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) ) |
29 |
15
|
negcld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ - ๐ด โ โ ) |
30 |
29 16 24
|
cjdivd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = ( ( โ โ - ๐ด ) / ( โ โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) |
31 |
15
|
cjnegd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( โ โ - ๐ด ) = - ( โ โ ๐ด ) ) |
32 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ด = 0 โ ( abs โ ๐ด ) = ( abs โ 0 ) ) |
33 |
|
abs0 |
โข ( abs โ 0 ) = 0 |
34 |
32 33
|
eqtrdi |
โข ( ๐ด = 0 โ ( abs โ ๐ด ) = 0 ) |
35 |
|
eqtr2 |
โข ( ( ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ( abs โ ๐ด ) = 0 ) โ 1 = 0 ) |
36 |
34 35
|
sylan2 |
โข ( ( ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ๐ด = 0 ) โ 1 = 0 ) |
37 |
|
ax-1ne0 |
โข 1 โ 0 |
38 |
|
neneq |
โข ( 1 โ 0 โ ยฌ 1 = 0 ) |
39 |
37 38
|
mp1i |
โข ( ( ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ๐ด = 0 ) โ ยฌ 1 = 0 ) |
40 |
36 39
|
pm2.65da |
โข ( ( abs โ ๐ด ) = 1 โ ยฌ ๐ด = 0 ) |
41 |
40
|
adantl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 ) โ ยฌ ๐ด = 0 ) |
42 |
|
df-ne |
โข ( ๐ด โ 0 โ ยฌ ๐ด = 0 ) |
43 |
|
oveq1 |
โข ( ( abs โ ๐ด ) = 1 โ ( ( abs โ ๐ด ) โ 2 ) = ( 1 โ 2 ) ) |
44 |
|
sq1 |
โข ( 1 โ 2 ) = 1 |
45 |
43 44
|
eqtrdi |
โข ( ( abs โ ๐ด ) = 1 โ ( ( abs โ ๐ด ) โ 2 ) = 1 ) |
46 |
45
|
adantl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 ) โ ( ( abs โ ๐ด ) โ 2 ) = 1 ) |
47 |
|
absvalsq |
โข ( ๐ด โ โ โ ( ( abs โ ๐ด ) โ 2 ) = ( ๐ด ยท ( โ โ ๐ด ) ) ) |
48 |
47
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 ) โ ( ( abs โ ๐ด ) โ 2 ) = ( ๐ด ยท ( โ โ ๐ด ) ) ) |
49 |
46 48
|
eqtr3d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 ) โ 1 = ( ๐ด ยท ( โ โ ๐ด ) ) ) |
50 |
49
|
3adant3 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ๐ด โ 0 ) โ 1 = ( ๐ด ยท ( โ โ ๐ด ) ) ) |
51 |
50
|
oveq1d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ๐ด โ 0 ) โ ( 1 / ๐ด ) = ( ( ๐ด ยท ( โ โ ๐ด ) ) / ๐ด ) ) |
52 |
|
simp1 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ๐ด โ 0 ) โ ๐ด โ โ ) |
53 |
52
|
cjcld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ๐ด โ 0 ) โ ( โ โ ๐ด ) โ โ ) |
54 |
|
simp3 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ๐ด โ 0 ) โ ๐ด โ 0 ) |
55 |
53 52 54
|
divcan3d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ๐ด โ 0 ) โ ( ( ๐ด ยท ( โ โ ๐ด ) ) / ๐ด ) = ( โ โ ๐ด ) ) |
56 |
51 55
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ๐ด โ 0 ) โ ( 1 / ๐ด ) = ( โ โ ๐ด ) ) |
57 |
42 56
|
syl3an3br |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ ๐ด = 0 ) โ ( 1 / ๐ด ) = ( โ โ ๐ด ) ) |
58 |
41 57
|
mpd3an3 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 ) โ ( 1 / ๐ด ) = ( โ โ ๐ด ) ) |
59 |
58
|
eqcomd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 ) โ ( โ โ ๐ด ) = ( 1 / ๐ด ) ) |
60 |
59
|
3adant3 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( โ โ ๐ด ) = ( 1 / ๐ด ) ) |
61 |
60
|
negeqd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ - ( โ โ ๐ด ) = - ( 1 / ๐ด ) ) |
62 |
31 61
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( โ โ - ๐ด ) = - ( 1 / ๐ด ) ) |
63 |
62
|
oveq1d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( ( โ โ - ๐ด ) / ( โ โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) = ( - ( 1 / ๐ด ) / ( โ โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) |
64 |
|
cjsub |
โข ( ( 1 โ โ โง ๐ด โ โ ) โ ( โ โ ( 1 โ ๐ด ) ) = ( ( โ โ 1 ) โ ( โ โ ๐ด ) ) ) |
65 |
18 64
|
mpan |
โข ( ๐ด โ โ โ ( โ โ ( 1 โ ๐ด ) ) = ( ( โ โ 1 ) โ ( โ โ ๐ด ) ) ) |
66 |
|
1red |
โข ( ๐ด โ โ โ 1 โ โ ) |
67 |
66
|
cjred |
โข ( ๐ด โ โ โ ( โ โ 1 ) = 1 ) |
68 |
67
|
oveq1d |
โข ( ๐ด โ โ โ ( ( โ โ 1 ) โ ( โ โ ๐ด ) ) = ( 1 โ ( โ โ ๐ด ) ) ) |
69 |
65 68
|
eqtrd |
โข ( ๐ด โ โ โ ( โ โ ( 1 โ ๐ด ) ) = ( 1 โ ( โ โ ๐ด ) ) ) |
70 |
69
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 ) โ ( โ โ ( 1 โ ๐ด ) ) = ( 1 โ ( โ โ ๐ด ) ) ) |
71 |
59
|
oveq2d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 ) โ ( 1 โ ( โ โ ๐ด ) ) = ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) |
72 |
70 71
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 ) โ ( โ โ ( 1 โ ๐ด ) ) = ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) |
73 |
72
|
3adant3 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( โ โ ( 1 โ ๐ด ) ) = ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) |
74 |
73
|
oveq2d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( - ( 1 / ๐ด ) / ( โ โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) = ( - ( 1 / ๐ด ) / ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) ) |
75 |
30 63 74
|
3eqtrd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = ( - ( 1 / ๐ด ) / ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) ) |
76 |
40
|
3ad2ant2 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ยฌ ๐ด = 0 ) |
77 |
76
|
neqned |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ๐ด โ 0 ) |
78 |
|
1cnd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ด โ 0 ) โ 1 โ โ ) |
79 |
|
simpl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ด โ 0 ) โ ๐ด โ โ ) |
80 |
|
simpr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ด โ 0 ) โ ๐ด โ 0 ) |
81 |
78 79 80
|
divnegd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ด โ 0 ) โ - ( 1 / ๐ด ) = ( - 1 / ๐ด ) ) |
82 |
81
|
oveq1d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ด โ 0 ) โ ( - ( 1 / ๐ด ) / ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) = ( ( - 1 / ๐ด ) / ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) ) |
83 |
15 77 82
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( - ( 1 / ๐ด ) / ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) = ( ( - 1 / ๐ด ) / ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) ) |
84 |
14
|
negcld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ - 1 โ โ ) |
85 |
84 15 77
|
divcld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( - 1 / ๐ด ) โ โ ) |
86 |
15 77
|
reccld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( 1 / ๐ด ) โ โ ) |
87 |
14 86
|
subcld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) โ โ ) |
88 |
16 24
|
cjne0d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( โ โ ( 1 โ ๐ด ) ) โ 0 ) |
89 |
73 88
|
eqnetrrd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) โ 0 ) |
90 |
85 87 15 89 77
|
divcan5d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( ( ๐ด ยท ( - 1 / ๐ด ) ) / ( ๐ด ยท ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) ) = ( ( - 1 / ๐ด ) / ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) ) |
91 |
84 15 77
|
divcan2d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( ๐ด ยท ( - 1 / ๐ด ) ) = - 1 ) |
92 |
15 14 86
|
subdid |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( ๐ด ยท ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) = ( ( ๐ด ยท 1 ) โ ( ๐ด ยท ( 1 / ๐ด ) ) ) ) |
93 |
15
|
mulridd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( ๐ด ยท 1 ) = ๐ด ) |
94 |
15 77
|
recidd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( ๐ด ยท ( 1 / ๐ด ) ) = 1 ) |
95 |
93 94
|
oveq12d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( ( ๐ด ยท 1 ) โ ( ๐ด ยท ( 1 / ๐ด ) ) ) = ( ๐ด โ 1 ) ) |
96 |
92 95
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( ๐ด ยท ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) = ( ๐ด โ 1 ) ) |
97 |
91 96
|
oveq12d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( ( ๐ด ยท ( - 1 / ๐ด ) ) / ( ๐ด ยท ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) ) = ( - 1 / ( ๐ด โ 1 ) ) ) |
98 |
83 90 97
|
3eqtr2d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( - ( 1 / ๐ด ) / ( 1 โ ( 1 / ๐ด ) ) ) = ( - 1 / ( ๐ด โ 1 ) ) ) |
99 |
|
subcl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 1 โ โ ) โ ( ๐ด โ 1 ) โ โ ) |
100 |
99
|
negnegd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 1 โ โ ) โ - - ( ๐ด โ 1 ) = ( ๐ด โ 1 ) ) |
101 |
|
negsubdi2 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 1 โ โ ) โ - ( ๐ด โ 1 ) = ( 1 โ ๐ด ) ) |
102 |
101
|
negeqd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 1 โ โ ) โ - - ( ๐ด โ 1 ) = - ( 1 โ ๐ด ) ) |
103 |
100 102
|
eqtr3d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง 1 โ โ ) โ ( ๐ด โ 1 ) = - ( 1 โ ๐ด ) ) |
104 |
15 14 103
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( ๐ด โ 1 ) = - ( 1 โ ๐ด ) ) |
105 |
104
|
oveq2d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( - 1 / ( ๐ด โ 1 ) ) = ( - 1 / - ( 1 โ ๐ด ) ) ) |
106 |
75 98 105
|
3eqtrd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = ( - 1 / - ( 1 โ ๐ด ) ) ) |
107 |
106
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = ( - 1 / - ( 1 โ ๐ด ) ) ) |
108 |
29 16 24
|
divcld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) โ โ ) |
109 |
108
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) โ โ ) |
110 |
|
simpr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) |
111 |
109 110
|
reim0bd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) โ โ ) |
112 |
111
|
cjred |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) |
113 |
112 111
|
eqeltrd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ โ ) |
114 |
107 113
|
eqeltrrd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( - 1 / - ( 1 โ ๐ด ) ) โ โ ) |
115 |
28 114
|
eqeltrrd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) โ โ ) |
116 |
16 24
|
recne0d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) โ 0 ) |
117 |
116
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) โ 0 ) |
118 |
115 117
|
rereccld |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( 1 / ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ โ ) |
119 |
26 118
|
eqeltrrd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( 1 โ ๐ด ) โ โ ) |
120 |
|
1red |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ 1 โ โ ) |
121 |
119 120
|
resubcld |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( ( 1 โ ๐ด ) โ 1 ) โ โ ) |
122 |
13 121
|
eqeltrrd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ - ๐ด โ โ ) |
123 |
2 122
|
negrebd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ๐ด โ โ ) |
124 |
123
|
absord |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( ( abs โ ๐ด ) = ๐ด โจ ( abs โ ๐ด ) = - ๐ด ) ) |
125 |
|
eqeq1 |
โข ( ( abs โ ๐ด ) = 1 โ ( ( abs โ ๐ด ) = ๐ด โ 1 = ๐ด ) ) |
126 |
125
|
biimpd |
โข ( ( abs โ ๐ด ) = 1 โ ( ( abs โ ๐ด ) = ๐ด โ 1 = ๐ด ) ) |
127 |
|
eqeq1 |
โข ( ( abs โ ๐ด ) = 1 โ ( ( abs โ ๐ด ) = - ๐ด โ 1 = - ๐ด ) ) |
128 |
127
|
biimpd |
โข ( ( abs โ ๐ด ) = 1 โ ( ( abs โ ๐ด ) = - ๐ด โ 1 = - ๐ด ) ) |
129 |
126 128
|
orim12d |
โข ( ( abs โ ๐ด ) = 1 โ ( ( ( abs โ ๐ด ) = ๐ด โจ ( abs โ ๐ด ) = - ๐ด ) โ ( 1 = ๐ด โจ 1 = - ๐ด ) ) ) |
130 |
7 124 129
|
sylc |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( 1 = ๐ด โจ 1 = - ๐ด ) ) |
131 |
130
|
ord |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( ยฌ 1 = ๐ด โ 1 = - ๐ด ) ) |
132 |
6 131
|
mpd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ 1 = - ๐ด ) |
133 |
132 5
|
eqeltrrd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ - ๐ด โ โ+ ) |
134 |
5 133
|
rpaddcld |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( 1 + - ๐ด ) โ โ+ ) |
135 |
3 134
|
eqeltrrd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( 1 โ ๐ด ) โ โ+ ) |
136 |
135
|
relogcld |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) โ โ ) |
137 |
136
|
reim0d |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( โ โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) |
138 |
133 135
|
rpdivcld |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) โ โ+ ) |
139 |
138
|
relogcld |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ โ ) |
140 |
139
|
reim0d |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( โ โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) = 0 ) |
141 |
137 140
|
eqtr4d |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = 0 ) โ ( โ โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) = ( โ โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) ) |
142 |
16 24
|
logcld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) โ โ ) |
143 |
142
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) โ โ ) |
144 |
143
|
imcld |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( โ โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ โ ) |
145 |
144
|
recnd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( โ โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ โ ) |
146 |
108
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) โ โ ) |
147 |
15 77
|
negne0d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ - ๐ด โ 0 ) |
148 |
29 16 147 24
|
divne0d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) โ 0 ) |
149 |
148
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) โ 0 ) |
150 |
146 149
|
logcld |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ โ ) |
151 |
150
|
imcld |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( โ โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) โ โ ) |
152 |
151
|
recnd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( โ โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) โ โ ) |
153 |
106
|
fveq2d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( log โ ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) = ( log โ ( - 1 / - ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) |
154 |
153
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( log โ ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) = ( log โ ( - 1 / - ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) |
155 |
|
logcj |
โข ( ( ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) โ โ โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( log โ ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) = ( โ โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) ) |
156 |
108 155
|
sylan |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( log โ ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) = ( โ โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) ) |
157 |
16 24
|
reccld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) โ โ ) |
158 |
157 116
|
logcld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( log โ ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ โ ) |
159 |
158
|
negnegd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ - - ( log โ ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) ) = ( log โ ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) |
160 |
|
isosctrlem1 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( โ โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ ฯ ) |
161 |
|
logrec |
โข ( ( ( 1 โ ๐ด ) โ โ โง ( 1 โ ๐ด ) โ 0 โง ( โ โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ ฯ ) โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) = - ( log โ ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) |
162 |
16 24 160 161
|
syl3anc |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) = - ( log โ ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) |
163 |
162
|
negeqd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ - ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) = - - ( log โ ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) |
164 |
27
|
fveq2d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( log โ ( - 1 / - ( 1 โ ๐ด ) ) ) = ( log โ ( 1 / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) |
165 |
159 163 164
|
3eqtr4rd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( log โ ( - 1 / - ( 1 โ ๐ด ) ) ) = - ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) |
166 |
165
|
adantr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( log โ ( - 1 / - ( 1 โ ๐ด ) ) ) = - ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) |
167 |
154 156 166
|
3eqtr3rd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ - ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) = ( โ โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) ) |
168 |
167
|
fveq2d |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( โ โ - ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) = ( โ โ ( โ โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) ) ) |
169 |
143
|
imnegd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( โ โ - ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) = - ( โ โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) |
170 |
150
|
imcjd |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( โ โ ( โ โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) ) = - ( โ โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) ) |
171 |
168 169 170
|
3eqtr3d |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ - ( โ โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) = - ( โ โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) ) |
172 |
145 152 171
|
neg11d |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โง ( โ โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) โ 0 ) โ ( โ โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) = ( โ โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) ) |
173 |
141 172
|
pm2.61dane |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( abs โ ๐ด ) = 1 โง ยฌ 1 = ๐ด ) โ ( โ โ ( log โ ( 1 โ ๐ด ) ) ) = ( โ โ ( log โ ( - ๐ด / ( 1 โ ๐ด ) ) ) ) ) |