Theorem isph

Description: The predicate "is an inner product space." (Contributed by NM, 1-Feb-2008) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	isph.1	⊢ 𝑋 = ( BaseSet ‘ 𝑈 )
	isph.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘ 𝑈 )
	isph.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘ 𝑈 )
	isph.6	⊢ 𝑁 = ( normCV ‘ 𝑈 )
Assertion	isph	⊢ ( 𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isph.1	⊢ 𝑋 = ( BaseSet ‘ 𝑈 )
2		isph.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘ 𝑈 )
3		isph.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘ 𝑈 )
4		isph.6	⊢ 𝑁 = ( normCV ‘ 𝑈 )
5		phnv	⊢ ( 𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec )
6		eqid	⊢ ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) = ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 )
7	2 6 4	nvop	⊢ ( 𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑈 = ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ )
8		eleq1	⊢ ( 𝑈 = ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ → ( 𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ ∈ CPreHilOLD ) )
9	2	fvexi	⊢ 𝐺 ∈ V
10		fvex	⊢ ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ∈ V
11	4	fvexi	⊢ 𝑁 ∈ V
12	1 2	bafval	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
13	12	isphg	⊢ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ) → ( ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ ( ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) ) )
14	9 10 11 13	mp3an	⊢ ( ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ ( ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) )
15	1 2 6 3	nvmval	⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) = ( 𝑥 𝐺 ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑦 ) ) )
16	15	3expa	⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) = ( 𝑥 𝐺 ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑦 ) ) )
17	16	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑦 ) ) ) )
18	17	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) )
19	18	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) ) )
20	19	eqeq1d	⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) )
21	20	ralbidva	⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) )
22	21	ralbidva	⊢ ( 𝑈 ∈ NrmCVec → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) )
23	22	pm5.32i	⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) ↔ ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) )
24		eleq1	⊢ ( 𝑈 = ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ → ( 𝑈 ∈ NrmCVec ↔ ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ ∈ NrmCVec ) )
25	24	anbi1d	⊢ ( 𝑈 = ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ → ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) ↔ ( ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) ) )
26	23 25	bitr2id	⊢ ( 𝑈 = ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ → ( ( ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 ( - 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝑦 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) ↔ ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) ) )
27	14 26	syl5bb	⊢ ( 𝑈 = ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ → ( ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) ) )
28	8 27	bitrd	⊢ ( 𝑈 = ⟨ ⟨ 𝐺 , ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) ⟩ , 𝑁 ⟩ → ( 𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) ) )
29	7 28	syl	⊢ ( 𝑈 ∈ NrmCVec → ( 𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) ) )
30	29	bianabs	⊢ ( 𝑈 ∈ NrmCVec → ( 𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) )
31	5 30	biadanii	⊢ ( 𝑈 ∈ CPreHilOLD ↔ ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝐺 𝑦 ) ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑥 𝑀 𝑦 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) ) )