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Theorem isrngd

Description: Properties that determine a non-unital ring. (Contributed by AV, 14-Feb-2025)

Ref Expression
Hypotheses isrngd.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 ) )
isrngd.p ⊢ ( 𝜑 → + = ( +g ‘ 𝑅 ) )
isrngd.t ⊢ ( 𝜑 → · = ( .r ‘ 𝑅 ) )
isrngd.g ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Abel )
isrngd.c ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ 𝐵 )
isrngd.a ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 · 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( 𝑥 · ( 𝑦 · 𝑧 ) ) )
isrngd.d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) )
isrngd.e ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) )
Assertion isrngd ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Rng )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 isrngd.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 ) )
2 isrngd.p ⊢ ( 𝜑 → + = ( +g ‘ 𝑅 ) )
3 isrngd.t ⊢ ( 𝜑 → · = ( .r ‘ 𝑅 ) )
4 isrngd.g ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Abel )
5 isrngd.c ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ 𝐵 )
6 isrngd.a ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 · 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( 𝑥 · ( 𝑦 · 𝑧 ) ) )
7 isrngd.d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) )
8 isrngd.e ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) )
9 eqid ⊢ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) = ( mulGrp ‘ 𝑅 )
10 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
11 9 10 mgpbas ⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
12 1 11 eqtrdi ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
13 eqid ⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 )
14 9 13 mgpplusg ⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
15 3 14 eqtrdi ⊢ ( 𝜑 → · = ( +g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
16 fvexd ⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ V )
17 12 15 5 6 16 issgrpd ⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Smgrp )
18 1 eleq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) )
19 1 eleq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) )
20 1 eleq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑧 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) )
21 18 19 20 3anbi123d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) )
22 21 biimpar ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) )
23 3 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → · = ( .r ‘ 𝑅 ) )
24 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑥 = 𝑥 )
25 2 oveqdr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 + 𝑧 ) = ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) )
26 23 24 25 oveq123d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 · ( 𝑦 + 𝑧 ) ) = ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) )
27 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → + = ( +g ‘ 𝑅 ) )
28 3 oveqdr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) = ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) )
29 3 oveqdr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 · 𝑧 ) = ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) )
30 27 28 29 oveq123d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 · 𝑦 ) + ( 𝑥 · 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) )
31 7 26 30 3eqtr3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) )
32 2 oveqdr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) = ( 𝑥 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) )
33 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑧 = 𝑧 )
34 23 32 33 oveq123d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑦 ) · 𝑧 ) = ( ( 𝑥 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) )
35 3 oveqdr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 · 𝑧 ) = ( 𝑦 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) )
36 27 29 35 oveq123d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 · 𝑧 ) + ( 𝑦 · 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑦 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) )
37 8 34 36 3eqtr3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑦 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) )
38 31 37 jca ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑦 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) ) )
39 22 38 syldan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑦 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) ) )
40 39 ralrimivvva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∀ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∀ 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑦 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) ) )
41 eqid ⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 )
42 10 9 41 13 isrng ⊢ ( 𝑅 ∈ Rng ↔ ( 𝑅 ∈ Abel ∧ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Smgrp ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∀ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∀ 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑦 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) ) ) )
43 4 17 40 42 syl3anbrc ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Rng )