Metamath Proof Explorer


Theorem isthincd2

Description: The predicate " C is a thin category" without knowing C is a category (deduction form). The identity arrow operator is also provided as a byproduct. (Contributed by Zhi Wang, 17-Sep-2024)

Ref Expression
Hypotheses isthincd.b โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ต = ( Base โ€˜ ๐ถ ) )
isthincd.h โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ป = ( Hom โ€˜ ๐ถ ) )
isthincd.t โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ โˆƒ* ๐‘“ ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) )
isthincd2.o โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ยท = ( comp โ€˜ ๐ถ ) )
isthincd2.c โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰ )
isthincd2.ps โŠข ( ๐œ“ โ†” ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ) ) )
isthincd2.1 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โ†’ 1 โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ฆ ) )
isthincd2.2 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐œ“ ) โ†’ ( ๐‘” ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ง ) ๐‘“ ) โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ง ) )
Assertion isthincd2 ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ถ โˆˆ ThinCat โˆง ( Id โ€˜ ๐ถ ) = ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ 1 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 isthincd.b โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ต = ( Base โ€˜ ๐ถ ) )
2 isthincd.h โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ป = ( Hom โ€˜ ๐ถ ) )
3 isthincd.t โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ โˆƒ* ๐‘“ ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) )
4 isthincd2.o โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ยท = ( comp โ€˜ ๐ถ ) )
5 isthincd2.c โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰ )
6 isthincd2.ps โŠข ( ๐œ“ โ†” ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ) ) )
7 isthincd2.1 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โ†’ 1 โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ฆ ) )
8 isthincd2.2 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐œ“ ) โ†’ ( ๐‘” ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ง ) ๐‘“ ) โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ง ) )
9 3an4anass โŠข ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โ†” ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) ) )
10 9 anbi1i โŠข ( ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) โ†” ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) ) โˆง ( ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) )
11 6 3anbi1i โŠข ( ( ๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) โ†” ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ) ) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) )
12 3anass โŠข ( ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ) ) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) โ†” ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ) ) โˆง ( ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) )
13 an4 โŠข ( ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ) ) โˆง ( ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) โ†” ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) )
14 11 12 13 3bitri โŠข ( ( ๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) โ†” ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) )
15 df-3an โŠข ( ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) โ†” ( ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) )
16 15 anbi2i โŠข ( ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) โ†” ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) ) โˆง ( ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) )
17 10 14 16 3bitr4i โŠข ( ( ๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) โ†” ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) )
18 df-3an โŠข ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) โ†” ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) )
19 17 18 bitr4i โŠข ( ( ๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) โ†” ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) )
20 simpr1l โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต )
21 simpr1r โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต )
22 simpr31 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) )
23 21 7 syldan โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ 1 โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ฆ ) )
24 6 bianass โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ๐œ“ ) โ†” ( ( ๐œ‘ โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ) ) )
25 24 8 sylbir โŠข ( ( ( ๐œ‘ โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ) ) โ†’ ( ๐‘” ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ง ) ๐‘“ ) โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ง ) )
26 25 ralrimivva โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ โˆ€ ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆ€ ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ( ๐‘” ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ง ) ๐‘“ ) โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ง ) )
27 26 ralrimivvva โŠข ( ๐œ‘ โ†’ โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€ ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€ ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆ€ ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ( ๐‘” ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ง ) ๐‘“ ) โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ง ) )
28 27 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€ ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€ ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆ€ ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) ( ๐‘” ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ง ) ๐‘“ ) โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ง ) )
29 20 21 21 22 23 28 isthincd2lem2 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ( 1 ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ฆ ) ๐‘“ ) โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) )
30 3 ralrimivva โŠข ( ๐œ‘ โ†’ โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ* ๐‘“ ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) )
31 30 adantr โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ* ๐‘“ ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) )
32 20 21 29 22 31 isthincd2lem1 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ( 1 ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ฆ ) ๐‘“ ) = ๐‘“ )
33 19 32 sylan2b โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) โ†’ ( 1 ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ฆ ) ๐‘“ ) = ๐‘“ )
34 simpr2l โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต )
35 simpr32 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) )
36 21 21 34 23 35 28 isthincd2lem2 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ( ๐‘” ( โŸจ ๐‘ฆ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ง ) 1 ) โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) )
37 21 34 36 35 31 isthincd2lem1 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ( ๐‘” ( โŸจ ๐‘ฆ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ง ) 1 ) = ๐‘” )
38 19 37 sylan2b โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) โ†’ ( ๐‘” ( โŸจ ๐‘ฆ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ง ) 1 ) = ๐‘” )
39 8 3ad2antr1 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) โ†’ ( ๐‘” ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ง ) ๐‘“ ) โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ง ) )
40 simpr2r โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐ต )
41 simpr33 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) )
42 21 34 40 35 41 28 isthincd2lem2 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ( ๐‘˜ ( โŸจ ๐‘ฆ , ๐‘ง โŸฉ ยท ๐‘ค ) ๐‘” ) โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ค ) )
43 20 21 40 22 42 28 isthincd2lem2 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ( ( ๐‘˜ ( โŸจ ๐‘ฆ , ๐‘ง โŸฉ ยท ๐‘ค ) ๐‘” ) ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ค ) ๐‘“ ) โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ค ) )
44 19 39 sylan2br โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ( ๐‘” ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ง ) ๐‘“ ) โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ง ) )
45 20 34 40 44 41 28 isthincd2lem2 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ( ๐‘˜ ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ง โŸฉ ยท ๐‘ค ) ( ๐‘” ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ง ) ๐‘“ ) ) โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ค ) )
46 20 40 43 45 31 isthincd2lem1 โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘“ โˆˆ ( ๐‘ฅ ๐ป ๐‘ฆ ) โˆง ๐‘” โˆˆ ( ๐‘ฆ ๐ป ๐‘ง ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) ) โ†’ ( ( ๐‘˜ ( โŸจ ๐‘ฆ , ๐‘ง โŸฉ ยท ๐‘ค ) ๐‘” ) ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ค ) ๐‘“ ) = ( ๐‘˜ ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ง โŸฉ ยท ๐‘ค ) ( ๐‘” ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ง ) ๐‘“ ) ) )
47 19 46 sylan2b โŠข ( ( ๐œ‘ โˆง ( ๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ ( ๐‘ง ๐ป ๐‘ค ) ) ) โ†’ ( ( ๐‘˜ ( โŸจ ๐‘ฆ , ๐‘ง โŸฉ ยท ๐‘ค ) ๐‘” ) ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ค ) ๐‘“ ) = ( ๐‘˜ ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ง โŸฉ ยท ๐‘ค ) ( ๐‘” ( โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ ยท ๐‘ง ) ๐‘“ ) ) )
48 1 2 4 5 19 7 33 38 39 47 iscatd2 โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ถ โˆˆ Cat โˆง ( Id โ€˜ ๐ถ ) = ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ 1 ) ) )
49 48 simpld โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat )
50 1 2 3 49 isthincd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ThinCat )
51 48 simprd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( Id โ€˜ ๐ถ ) = ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ 1 ) )
52 50 51 jca โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ถ โˆˆ ThinCat โˆง ( Id โ€˜ ๐ถ ) = ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ 1 ) ) )