Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
inelr |
⊢ ¬ i ∈ ℝ |
2 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
3 |
2
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → i ∈ ℂ ) |
4 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℝ ) |
5 |
4
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → 𝑅 ∈ ℂ ) |
6 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → 𝑅 ≠ 0 ) |
7 |
3 5 6
|
divcan4d |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( ( i · 𝑅 ) / 𝑅 ) = i ) |
8 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
9 |
8 4 6
|
redivcld |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → ( ( i · 𝑅 ) / 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
10 |
7 9
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) ∧ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) → i ∈ ℝ ) |
11 |
10
|
ex |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ → i ∈ ℝ ) ) |
12 |
1 11
|
mtoi |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0 ) → ¬ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
13 |
12
|
ex |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( 𝑅 ≠ 0 → ¬ ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) ) |
14 |
13
|
necon4ad |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ → 𝑅 = 0 ) ) |
15 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑅 = 0 → ( i · 𝑅 ) = ( i · 0 ) ) |
16 |
|
it0e0 |
⊢ ( i · 0 ) = 0 |
17 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
18 |
16 17
|
eqeltri |
⊢ ( i · 0 ) ∈ ℝ |
19 |
15 18
|
eqeltrdi |
⊢ ( 𝑅 = 0 → ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ) |
20 |
14 19
|
impbid1 |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ → ( ( i · 𝑅 ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0 ) ) |