Theorem kgenss

Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015)

	Ref	Expression
Assertion	kgenss	⊢ ( 𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 )
2	1	a1i	⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( 𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ) )
3		elrestr	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑥 ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) )
4	3	3expa	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑥 ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) )
5	4	an32s	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽 ) → ( 𝑥 ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) )
6	5	a1d	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽 ) → ( ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑥 ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) )
7	6	ralrimiva	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽 ( ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑥 ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) )
8	7	ex	⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( 𝑥 ∈ 𝐽 → ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽 ( ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑥 ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) ) )
9	2 8	jcad	⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( 𝑥 ∈ 𝐽 → ( 𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽 ( ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑥 ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) ) ) )
10		toptopon2	⊢ ( 𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ∪ 𝐽 ) )
11		elkgen	⊢ ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ∪ 𝐽 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ↔ ( 𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽 ( ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑥 ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) ) ) )
12	10 11	sylbi	⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ↔ ( 𝑥 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝒫 ∪ 𝐽 ( ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp → ( 𝑥 ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) ) ) )
13	9 12	sylibrd	⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( 𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) )
14	13	ssrdv	⊢ ( 𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) )