Theorem latjjdi

Description: Lattice join distributes over itself. (Contributed by NM, 30-Jul-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	latjass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	latjass.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
Assertion	latjjdi	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∨ 𝑍 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		latjass.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		simpr1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
4	1 2	latjidm	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∨ 𝑋 ) = 𝑋 )
5	3 4	syldan	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∨ 𝑋 ) = 𝑋 )
6	5	oveq1d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑋 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) = ( 𝑋 ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )
7		simpl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
8		simpr2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
9		simpr3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
10	1 2	latj4	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑋 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∨ 𝑍 ) ) )
11	7 3 3 8 9 10	syl122anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑋 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∨ 𝑍 ) ) )
12	6 11	eqtr3d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑋 ∨ 𝑍 ) ) )