Theorem latjjdir

Description: Lattice join distributes over itself. (Contributed by NM, 2-Aug-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	latjass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	latjass.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
Assertion	latjjdir	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ 𝑍 ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑍 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		latjass.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3	1 2	latjidm	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 ∨ 𝑍 ) = 𝑍 )
4	3	3ad2antr3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 ∨ 𝑍 ) = 𝑍 )
5	4	oveq2d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑍 ∨ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ 𝑍 ) )
6		simpl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
7		simpr1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
8		simpr2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
9		simpr3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
10	1 2	latj4	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑍 ∨ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑍 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )
11	6 7 8 9 9 10	syl122anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑍 ∨ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑍 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )
12	5 11	eqtr3d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ 𝑍 ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑍 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )