Theorem latm12

Description: A rearrangement of lattice meet. ( in12 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011)

	Ref	Expression
Hypotheses	olmass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	olmass.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
Assertion	latm12	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olmass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		olmass.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
3		ollat	⊢ ( 𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat )
4	3	adantr	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
5		simpr1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
6		simpr2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
7	1 2	latmcom	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) )
8	4 5 6 7	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) )
9	8	oveq1d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) = ( ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ∧ 𝑍 ) )
10	1 2	latmassOLD	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) )
11		simpr3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
12	6 5 11	3jca	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) )
13	1 2	latmassOLD	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ∧ 𝑍 ) = ( 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) )
14	12 13	syldan	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ∧ 𝑍 ) = ( 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) )
15	9 10 14	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( 𝑌 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) )