Theorem latm32

Description: A rearrangement of lattice meet. ( in12 analog.) (Contributed by NM, 13-Nov-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	olmass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	olmass.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
Assertion	latm32	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) = ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∧ 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olmass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		olmass.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
3		ollat	⊢ ( 𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat )
4	1 2	latmcom	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) )
5	3 4	syl3an1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) )
6	5	3adant3r1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) )
7	6	oveq2d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) ) )
8	1 2	latmassOLD	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) )
9		simpl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ OL )
10		simpr1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
11		simpr3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
12		simpr2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
13	1 2	latmassOLD	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∧ 𝑌 ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) ) )
14	9 10 11 12 13	syl13anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∧ 𝑌 ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑍 ∧ 𝑌 ) ) )
15	7 8 14	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) = ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∧ 𝑌 ) )