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Theorem latmlem12

Description: Add join to both sides of a lattice ordering. ( ss2in analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses latmle.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
latmle.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
latmle.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
Assertion latmlem12 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 latmle.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 latmle.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 latmle.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 simp1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
5 simp2l ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
6 simp2r ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
7 simp3l ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
8 1 2 3 latmlem1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝑌 → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) )
9 4 5 6 7 8 syl13anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝑌 → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) )
10 simp3r ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
11 1 2 3 latmlem2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 ≤ 𝑊 → ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) )
12 4 7 10 6 11 syl13anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 ≤ 𝑊 → ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) )
13 1 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
14 4 5 7 13 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
15 1 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
16 4 6 7 15 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
17 1 3 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
18 4 6 10 17 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 )
19 1 2 lattr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) )
20 4 14 16 18 19 syl13anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) )
21 9 12 20 syl2and ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ ( 𝑌 ∧ 𝑊 ) ) )