Theorem latmmdiN

Description: Lattice meet distributes over itself. ( inindi analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	olmass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	olmass.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
Assertion	latmmdiN	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olmass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		olmass.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
3		ollat	⊢ ( 𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat )
4	3	adantr	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
5		simpr1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
6	1 2	latmidm	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑋 ) = 𝑋 )
7	4 5 6	syl2anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑋 ) = 𝑋 )
8	7	oveq1d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) )
9		simpl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ OL )
10		simpr2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
11		simpr3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
12	1 2	latm4	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) )
13	9 5 5 10 11 12	syl122anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑋 ) ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) )
14	8 13	eqtr3d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑌 ∧ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) )