Theorem latmrot

Description: Rotate lattice meet of 3 classes. (Contributed by NM, 9-Oct-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	olmass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	olmass.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
Assertion	latmrot	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) = ( ( 𝑍 ∧ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olmass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		olmass.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
3		ollat	⊢ ( 𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat )
4	3	adantr	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
5		simpr1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
6		simpr2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
7	1 2	latmcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
8	4 5 6 7	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
9		simpr3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
10	1 2	latmcom	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
11	4 8 9 10	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
12		simpl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ OL )
13	1 2	latmassOLD	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑍 ∧ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ) = ( 𝑍 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
14	12 9 5 6 13	syl13anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑍 ∧ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ) = ( 𝑍 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
15	11 14	eqtr4d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ) = ( ( 𝑍 ∧ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ) )