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Theorem le2sub

Description: Subtracting both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016)

Ref Expression
Assertion le2sub ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴𝐶𝐷𝐵 ) → ( 𝐴𝐵 ) ≤ ( 𝐶𝐷 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpll ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
2 simprl ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
3 simplr ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
4 lesub1 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴𝐶 ↔ ( 𝐴𝐵 ) ≤ ( 𝐶𝐵 ) ) )
5 1 2 3 4 syl3anc ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴𝐶 ↔ ( 𝐴𝐵 ) ≤ ( 𝐶𝐵 ) ) )
6 simprr ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → 𝐷 ∈ ℝ )
7 lesub2 ( ( 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐷𝐵 ↔ ( 𝐶𝐵 ) ≤ ( 𝐶𝐷 ) ) )
8 6 3 2 7 syl3anc ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐷𝐵 ↔ ( 𝐶𝐵 ) ≤ ( 𝐶𝐷 ) ) )
9 5 8 anbi12d ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴𝐶𝐷𝐵 ) ↔ ( ( 𝐴𝐵 ) ≤ ( 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝐶𝐵 ) ≤ ( 𝐶𝐷 ) ) ) )
10 resubcl ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴𝐵 ) ∈ ℝ )
11 10 adantr ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴𝐵 ) ∈ ℝ )
12 2 3 resubcld ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐶𝐵 ) ∈ ℝ )
13 resubcl ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) → ( 𝐶𝐷 ) ∈ ℝ )
14 13 adantl ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐶𝐷 ) ∈ ℝ )
15 letr ( ( ( 𝐴𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶𝐷 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴𝐵 ) ≤ ( 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝐶𝐵 ) ≤ ( 𝐶𝐷 ) ) → ( 𝐴𝐵 ) ≤ ( 𝐶𝐷 ) ) )
16 11 12 14 15 syl3anc ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( 𝐴𝐵 ) ≤ ( 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝐶𝐵 ) ≤ ( 𝐶𝐷 ) ) → ( 𝐴𝐵 ) ≤ ( 𝐶𝐷 ) ) )
17 9 16 sylbid ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴𝐶𝐷𝐵 ) → ( 𝐴𝐵 ) ≤ ( 𝐶𝐷 ) ) )