Theorem ledi

Description: An ortholattice is distributive in one ordering direction. (Contributed by NM, 14-Jun-2006) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	ledi	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) )
2		ineq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) )
3	1 2	oveq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) )
4		ineq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) )
5	3 4	sseq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) )
6		ineq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
7	6	oveq1d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) )
8		oveq1	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) )
9	8	ineq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) )
10	7 9	sseq12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) ) )
11		ineq2	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) )
12	11	oveq2d	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) ) )
13		oveq2	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) )
14	13	ineq2d	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) ) )
15	12 14	sseq12d	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) → ( ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) ) ⊆ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) ) ) )
16		h0elch	⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
17	16	elimel	⊢ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∈ Cℋ
18	16	elimel	⊢ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∈ Cℋ
19	16	elimel	⊢ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ∈ Cℋ
20	17 18 19	ledii	⊢ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ∨ℋ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) ) ⊆ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , 0ℋ ) ) )
21	5 10 15 20	dedth3h	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) )