Theorem leg0

Description: Degenerated (zero-length) segments are minimal. Proposition 5.11 of Schwabhauser p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	legval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	legval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
	legval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	legval.l	⊢ ≤ = ( ≤G ‘ 𝐺 )
	legval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	legid.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
	legid.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
	legtrd.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
	legtrd.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 )
Assertion	leg0	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐴 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		legval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
3		legval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		legval.l	⊢ ≤ = ( ≤G ‘ 𝐺 )
5		legval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
6		legid.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
7		legid.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
8		legtrd.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
9		legtrd.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 )
10	1 2 3 5 8 9	tgbtwntriv1	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) )
11	1 2 3 5 6 8	tgcgrtriv	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐶 − 𝐶 ) )
12		eleq1	⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ↔ 𝐶 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) )
13		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( 𝐶 − 𝑥 ) = ( 𝐶 − 𝐶 ) )
14	13	eqeq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ↔ ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐶 − 𝐶 ) ) )
15	12 14	anbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ↔ ( 𝐶 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐶 − 𝐶 ) ) ) )
16	15	rspcev	⊢ ( ( 𝐶 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐶 − 𝐶 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) )
17	8 10 11 16	syl12anc	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) )
18	1 2 3 4 5 6 6 8 9	legov	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐴 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) )
19	17 18	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐴 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) )