Theorem lemulge11

Description: Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 17-Dec-2005)

	Ref	Expression
Assertion	lemulge11	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝐴 · 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1rid	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐴 · 1 ) = 𝐴 )
2	1	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) ) → ( 𝐴 · 1 ) = 𝐴 )
3		simpll	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
4		simprl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) ) → 0 ≤ 𝐴 )
5	3 4	jca	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) )
6		simplr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
7		1re	⊢ 1 ∈ ℝ
8		0le1	⊢ 0 ≤ 1
9	7 8	pm3.2i	⊢ ( 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 )
10	6 9	jctil	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) ) → ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) )
11	5 3 10	jca31	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ) )
12		leid	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴 )
13	12	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) ) → 𝐴 ≤ 𝐴 )
14		simprr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) ) → 1 ≤ 𝐵 )
15	13 14	jca	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) )
16		lemul12a	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐴 · 1 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
17	11 15 16	sylc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) ) → ( 𝐴 · 1 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐵 ) )
18	2 17	eqbrtrrd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵 ) ) → 𝐴 ≤ ( 𝐴 · 𝐵 ) )