| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 → if ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) = 0 ) |
| 2 |
1
|
necon1ai |
⊢ ( if ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) ≠ 0 → ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 ) |
| 3 |
|
iftrue |
⊢ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 → if ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) = 1 ) |
| 4 |
|
ax-1ne0 |
⊢ 1 ≠ 0 |
| 5 |
4
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 → 1 ≠ 0 ) |
| 6 |
3 5
|
eqnetrd |
⊢ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 → if ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) ≠ 0 ) |
| 7 |
2 6
|
impbii |
⊢ ( if ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) ≠ 0 ↔ ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 ) |
| 8 |
|
zre |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ ) |
| 9 |
8
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
| 10 |
|
absresq |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( 𝐴 ↑ 2 ) ) |
| 11 |
9 10
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( 𝐴 ↑ 2 ) ) |
| 12 |
|
sq1 |
⊢ ( 1 ↑ 2 ) = 1 |
| 13 |
12
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → ( 1 ↑ 2 ) = 1 ) |
| 14 |
11 13
|
eqeq12d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ↔ ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 ) ) |
| 15 |
9
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
| 16 |
15
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
| 17 |
15
|
absge0d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → 0 ≤ ( abs ‘ 𝐴 ) ) |
| 18 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
| 19 |
|
0le1 |
⊢ 0 ≤ 1 |
| 20 |
|
sq11 |
⊢ ( ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( abs ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ) ) → ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ↔ ( abs ‘ 𝐴 ) = 1 ) ) |
| 21 |
18 19 20
|
mpanr12 |
⊢ ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( abs ‘ 𝐴 ) ) → ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ↔ ( abs ‘ 𝐴 ) = 1 ) ) |
| 22 |
16 17 21
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ↔ ( abs ‘ 𝐴 ) = 1 ) ) |
| 23 |
14 22
|
bitr3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 ↔ ( abs ‘ 𝐴 ) = 1 ) ) |
| 24 |
7 23
|
syl5bb |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → ( if ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) ≠ 0 ↔ ( abs ‘ 𝐴 ) = 1 ) ) |
| 25 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑁 = 0 → ( 𝐴 /L 𝑁 ) = ( 𝐴 /L 0 ) ) |
| 26 |
|
lgs0 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℤ → ( 𝐴 /L 0 ) = if ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) ) |
| 27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 /L 0 ) = if ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) ) |
| 28 |
25 27
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → ( 𝐴 /L 𝑁 ) = if ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) ) |
| 29 |
28
|
neeq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → ( ( 𝐴 /L 𝑁 ) ≠ 0 ↔ if ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) ≠ 0 ) ) |
| 30 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑁 = 0 → ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = ( 𝐴 gcd 0 ) ) |
| 31 |
|
gcdid0 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℤ → ( 𝐴 gcd 0 ) = ( abs ‘ 𝐴 ) ) |
| 32 |
31
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 gcd 0 ) = ( abs ‘ 𝐴 ) ) |
| 33 |
30 32
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = ( abs ‘ 𝐴 ) ) |
| 34 |
33
|
eqeq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → ( ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ↔ ( abs ‘ 𝐴 ) = 1 ) ) |
| 35 |
24 29 34
|
3bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 = 0 ) → ( ( 𝐴 /L 𝑁 ) ≠ 0 ↔ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ) |
| 36 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) |
| 37 |
36
|
lgsval4 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( 𝐴 /L 𝑁 ) = ( if ( ( 𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0 ) , - 1 , 1 ) · ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
| 38 |
37
|
neeq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 /L 𝑁 ) ≠ 0 ↔ ( if ( ( 𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0 ) , - 1 , 1 ) · ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 39 |
|
neeq1 |
⊢ ( - 1 = if ( ( 𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0 ) , - 1 , 1 ) → ( - 1 ≠ 0 ↔ if ( ( 𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0 ) , - 1 , 1 ) ≠ 0 ) ) |
| 40 |
|
neeq1 |
⊢ ( 1 = if ( ( 𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0 ) , - 1 , 1 ) → ( 1 ≠ 0 ↔ if ( ( 𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0 ) , - 1 , 1 ) ≠ 0 ) ) |
| 41 |
|
neg1ne0 |
⊢ - 1 ≠ 0 |
| 42 |
39 40 41 4
|
keephyp |
⊢ if ( ( 𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0 ) , - 1 , 1 ) ≠ 0 |
| 43 |
42
|
biantrur |
⊢ ( ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ≠ 0 ↔ ( if ( ( 𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0 ) , - 1 , 1 ) ≠ 0 ∧ ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ≠ 0 ) ) |
| 44 |
|
neg1cn |
⊢ - 1 ∈ ℂ |
| 45 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
| 46 |
44 45
|
ifcli |
⊢ if ( ( 𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0 ) , - 1 , 1 ) ∈ ℂ |
| 47 |
46
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → if ( ( 𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0 ) , - 1 , 1 ) ∈ ℂ ) |
| 48 |
|
nnabscl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
| 49 |
48
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
| 50 |
|
nnuz |
⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
| 51 |
49 50
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
| 52 |
36
|
lgsfcl3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) : ℕ ⟶ ℤ ) |
| 53 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... ( abs ‘ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
| 54 |
|
ffvelrn |
⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) : ℕ ⟶ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℤ ) |
| 55 |
52 53 54
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℤ ) |
| 56 |
55
|
zcnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
| 57 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( 𝑘 · 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
| 58 |
57
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ) → ( 𝑘 · 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
| 59 |
51 56 58
|
seqcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
| 60 |
47 59
|
mulne0bd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( ( if ( ( 𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0 ) , - 1 , 1 ) ≠ 0 ∧ ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ≠ 0 ) ↔ ( if ( ( 𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0 ) , - 1 , 1 ) · ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) ≠ 0 ) ) |
| 61 |
43 60
|
bitr2id |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( ( if ( ( 𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0 ) , - 1 , 1 ) · ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ≠ 0 ) ) |
| 62 |
|
gcd2n0cl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
| 63 |
|
eluz2b3 |
⊢ ( ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↔ ( ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ≠ 1 ) ) |
| 64 |
|
exprmfct |
⊢ ( ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ∃ 𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) |
| 65 |
63 64
|
sylbir |
⊢ ( ( ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ≠ 1 ) → ∃ 𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) |
| 66 |
57
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ) → ( 𝑘 · 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
| 67 |
56
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
| 68 |
|
mul02 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℂ → ( 0 · 𝑘 ) = 0 ) |
| 69 |
68
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℂ ) → ( 0 · 𝑘 ) = 0 ) |
| 70 |
|
mul01 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℂ → ( 𝑘 · 0 ) = 0 ) |
| 71 |
70
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℂ ) → ( 𝑘 · 0 ) = 0 ) |
| 72 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) |
| 73 |
|
prmz |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ ) |
| 74 |
73
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → 𝑝 ∈ ℤ ) |
| 75 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
| 76 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
| 77 |
|
dvdsgcdb |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ↔ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) |
| 78 |
74 75 76 77
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ↔ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) |
| 79 |
72 78
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( 𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁 ) ) |
| 80 |
79
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → 𝑝 ∥ 𝑁 ) |
| 81 |
|
dvdsabsb |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 82 |
74 76 81
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( 𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 83 |
80 82
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → 𝑝 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) |
| 84 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
| 85 |
|
dvdsle |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℤ ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) → ( 𝑝 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) → 𝑝 ≤ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 86 |
74 84 85
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( 𝑝 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) → 𝑝 ≤ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 87 |
83 86
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → 𝑝 ≤ ( abs ‘ 𝑁 ) ) |
| 88 |
|
prmnn |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ ) |
| 89 |
88
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → 𝑝 ∈ ℕ ) |
| 90 |
89 50
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
| 91 |
84
|
nnzd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
| 92 |
|
elfz5 |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑝 ∈ ( 1 ... ( abs ‘ 𝑁 ) ) ↔ 𝑝 ≤ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 93 |
90 91 92
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( 𝑝 ∈ ( 1 ... ( abs ‘ 𝑁 ) ) ↔ 𝑝 ≤ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 94 |
87 93
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 1 ... ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 95 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑛 = 𝑝 → ( 𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑝 ∈ ℙ ) ) |
| 96 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑝 → ( 𝐴 /L 𝑛 ) = ( 𝐴 /L 𝑝 ) ) |
| 97 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑝 → ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) = ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) |
| 98 |
96 97
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑝 → ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) = ( ( 𝐴 /L 𝑝 ) ↑ ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) ) |
| 99 |
95 98
|
ifbieq1d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑝 → if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) = if ( 𝑝 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑝 ) ↑ ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) |
| 100 |
|
ovex |
⊢ ( ( 𝐴 /L 𝑝 ) ↑ ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) ∈ V |
| 101 |
|
1ex |
⊢ 1 ∈ V |
| 102 |
100 101
|
ifex |
⊢ if ( 𝑝 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑝 ) ↑ ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ∈ V |
| 103 |
99 36 102
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ‘ 𝑝 ) = if ( 𝑝 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑝 ) ↑ ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) |
| 104 |
89 103
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ‘ 𝑝 ) = if ( 𝑝 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑝 ) ↑ ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) |
| 105 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → if ( 𝑝 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑝 ) ↑ ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) = ( ( 𝐴 /L 𝑝 ) ↑ ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) ) |
| 106 |
105
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → if ( 𝑝 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑝 ) ↑ ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) = ( ( 𝐴 /L 𝑝 ) ↑ ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) ) |
| 107 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑝 = 2 → ( 𝐴 /L 𝑝 ) = ( 𝐴 /L 2 ) ) |
| 108 |
|
lgs2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℤ → ( 𝐴 /L 2 ) = if ( 2 ∥ 𝐴 , 0 , if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) ) ) |
| 109 |
75 108
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 /L 2 ) = if ( 2 ∥ 𝐴 , 0 , if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) ) ) |
| 110 |
107 109
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 = 2 ) → ( 𝐴 /L 𝑝 ) = if ( 2 ∥ 𝐴 , 0 , if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) ) ) |
| 111 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 = 2 ) → 𝑝 = 2 ) |
| 112 |
79
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → 𝑝 ∥ 𝐴 ) |
| 113 |
112
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 = 2 ) → 𝑝 ∥ 𝐴 ) |
| 114 |
111 113
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 = 2 ) → 2 ∥ 𝐴 ) |
| 115 |
114
|
iftrued |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 = 2 ) → if ( 2 ∥ 𝐴 , 0 , if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) ) = 0 ) |
| 116 |
110 115
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 = 2 ) → ( 𝐴 /L 𝑝 ) = 0 ) |
| 117 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
| 118 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → 𝑝 ∈ ℙ ) |
| 119 |
118
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → 𝑝 ∈ ℙ ) |
| 120 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → 𝑝 ≠ 2 ) |
| 121 |
|
eldifsn |
⊢ ( 𝑝 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ↔ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ≠ 2 ) ) |
| 122 |
119 120 121
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → 𝑝 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ) |
| 123 |
|
lgsval3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ) → ( 𝐴 /L 𝑝 ) = ( ( ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod 𝑝 ) − 1 ) ) |
| 124 |
117 122 123
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( 𝐴 /L 𝑝 ) = ( ( ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod 𝑝 ) − 1 ) ) |
| 125 |
|
oddprm |
⊢ ( 𝑝 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) |
| 126 |
122 125
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) |
| 127 |
126
|
nnnn0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) |
| 128 |
|
zexpcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℤ ) |
| 129 |
117 127 128
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℤ ) |
| 130 |
129
|
zred |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
| 131 |
|
0red |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → 0 ∈ ℝ ) |
| 132 |
18
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → 1 ∈ ℝ ) |
| 133 |
119 88
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → 𝑝 ∈ ℕ ) |
| 134 |
133
|
nnrpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → 𝑝 ∈ ℝ+ ) |
| 135 |
|
0zd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → 0 ∈ ℤ ) |
| 136 |
112
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → 𝑝 ∥ 𝐴 ) |
| 137 |
|
dvdsval3 |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ) → ( 𝑝 ∥ 𝐴 ↔ ( 𝐴 mod 𝑝 ) = 0 ) ) |
| 138 |
133 117 137
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( 𝑝 ∥ 𝐴 ↔ ( 𝐴 mod 𝑝 ) = 0 ) ) |
| 139 |
136 138
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( 𝐴 mod 𝑝 ) = 0 ) |
| 140 |
|
0mod |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℝ+ → ( 0 mod 𝑝 ) = 0 ) |
| 141 |
134 140
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( 0 mod 𝑝 ) = 0 ) |
| 142 |
139 141
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( 𝐴 mod 𝑝 ) = ( 0 mod 𝑝 ) ) |
| 143 |
|
modexp |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ) ∧ ( ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝐴 mod 𝑝 ) = ( 0 mod 𝑝 ) ) → ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑝 ) = ( ( 0 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑝 ) ) |
| 144 |
117 135 127 134 142 143
|
syl221anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑝 ) = ( ( 0 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑝 ) ) |
| 145 |
126
|
0expd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( 0 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) = 0 ) |
| 146 |
145
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( ( 0 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑝 ) = ( 0 mod 𝑝 ) ) |
| 147 |
144 146
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑝 ) = ( 0 mod 𝑝 ) ) |
| 148 |
|
modadd1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) ∧ ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑝 ) = ( 0 mod 𝑝 ) ) → ( ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod 𝑝 ) = ( ( 0 + 1 ) mod 𝑝 ) ) |
| 149 |
130 131 132 134 147 148
|
syl221anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod 𝑝 ) = ( ( 0 + 1 ) mod 𝑝 ) ) |
| 150 |
|
0p1e1 |
⊢ ( 0 + 1 ) = 1 |
| 151 |
150
|
oveq1i |
⊢ ( ( 0 + 1 ) mod 𝑝 ) = ( 1 mod 𝑝 ) |
| 152 |
149 151
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod 𝑝 ) = ( 1 mod 𝑝 ) ) |
| 153 |
133
|
nnred |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → 𝑝 ∈ ℝ ) |
| 154 |
|
prmuz2 |
⊢ ( 𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
| 155 |
119 154
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → 𝑝 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
| 156 |
|
eluz2b2 |
⊢ ( 𝑝 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↔ ( 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝 ) ) |
| 157 |
155 156
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝 ) ) |
| 158 |
157
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → 1 < 𝑝 ) |
| 159 |
|
1mod |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑝 ) → ( 1 mod 𝑝 ) = 1 ) |
| 160 |
153 158 159
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( 1 mod 𝑝 ) = 1 ) |
| 161 |
152 160
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod 𝑝 ) = 1 ) |
| 162 |
161
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( ( ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod 𝑝 ) − 1 ) = ( 1 − 1 ) ) |
| 163 |
|
1m1e0 |
⊢ ( 1 − 1 ) = 0 |
| 164 |
162 163
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( ( ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑝 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod 𝑝 ) − 1 ) = 0 ) |
| 165 |
124 164
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 ≠ 2 ) → ( 𝐴 /L 𝑝 ) = 0 ) |
| 166 |
116 165
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 /L 𝑝 ) = 0 ) |
| 167 |
166
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 /L 𝑝 ) ↑ ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) = ( 0 ↑ ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) ) |
| 168 |
|
zq |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ ) |
| 169 |
76 168
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℚ ) |
| 170 |
|
pcabs |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ) → ( 𝑝 pCnt ( abs ‘ 𝑁 ) ) = ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) |
| 171 |
118 169 170
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( 𝑝 pCnt ( abs ‘ 𝑁 ) ) = ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) |
| 172 |
|
pcelnn |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) → ( ( 𝑝 pCnt ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 173 |
118 84 172
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑝 pCnt ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 174 |
83 173
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( 𝑝 pCnt ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℕ ) |
| 175 |
171 174
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
| 176 |
175
|
0expd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( 0 ↑ ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) = 0 ) |
| 177 |
167 176
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 /L 𝑝 ) ↑ ( 𝑝 pCnt 𝑁 ) ) = 0 ) |
| 178 |
104 106 177
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ‘ 𝑝 ) = 0 ) |
| 179 |
66 67 69 71 94 84 178
|
seqz |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) → ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) = 0 ) |
| 180 |
179
|
rexlimdvaa |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) → ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) = 0 ) ) |
| 181 |
65 180
|
syl5 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ≠ 1 ) → ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) = 0 ) ) |
| 182 |
62 181
|
mpand |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ≠ 1 → ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) = 0 ) ) |
| 183 |
182
|
necon1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ≠ 0 → ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ) |
| 184 |
51
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) → ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
| 185 |
53
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
| 186 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ ) ) |
| 187 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝐴 /L 𝑛 ) = ( 𝐴 /L 𝑘 ) ) |
| 188 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) = ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) |
| 189 |
187 188
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) = ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) ) |
| 190 |
186 189
|
ifbieq1d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) = if ( 𝑘 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) |
| 191 |
|
ovex |
⊢ ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) ∈ V |
| 192 |
191 101
|
ifex |
⊢ if ( 𝑘 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ∈ V |
| 193 |
190 36 192
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) = if ( 𝑘 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) |
| 194 |
185 193
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) = if ( 𝑘 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) |
| 195 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
| 196 |
|
prmz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℤ ) |
| 197 |
196
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
| 198 |
|
lgscl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 /L 𝑘 ) ∈ ℤ ) |
| 199 |
195 197 198
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( 𝐴 /L 𝑘 ) ∈ ℤ ) |
| 200 |
199
|
zcnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( 𝐴 /L 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
| 201 |
200
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → ( 𝐴 /L 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
| 202 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 2 → ( 𝐴 /L 𝑘 ) = ( 𝐴 /L 2 ) ) |
| 203 |
195
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
| 204 |
203 108
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → ( 𝐴 /L 2 ) = if ( 2 ∥ 𝐴 , 0 , if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) ) ) |
| 205 |
202 204
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 = 2 ) → ( 𝐴 /L 𝑘 ) = if ( 2 ∥ 𝐴 , 0 , if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) ) ) |
| 206 |
|
nprmdvds1 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℙ → ¬ 𝑘 ∥ 1 ) |
| 207 |
206
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ¬ 𝑘 ∥ 1 ) |
| 208 |
|
simpll2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
| 209 |
|
dvdsgcdb |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 ∥ 𝐴 ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ↔ 𝑘 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) |
| 210 |
197 195 208 209
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑘 ∥ 𝐴 ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ↔ 𝑘 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) ) |
| 211 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) |
| 212 |
211
|
breq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( 𝑘 ∥ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ↔ 𝑘 ∥ 1 ) ) |
| 213 |
210 212
|
bitrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑘 ∥ 𝐴 ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ↔ 𝑘 ∥ 1 ) ) |
| 214 |
207 213
|
mtbird |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ¬ ( 𝑘 ∥ 𝐴 ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ) |
| 215 |
|
imnan |
⊢ ( ( 𝑘 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ↔ ¬ ( 𝑘 ∥ 𝐴 ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ) |
| 216 |
214 215
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( 𝑘 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ) |
| 217 |
216
|
con2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( 𝑘 ∥ 𝑁 → ¬ 𝑘 ∥ 𝐴 ) ) |
| 218 |
217
|
imp |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → ¬ 𝑘 ∥ 𝐴 ) |
| 219 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑘 = 2 → ( 𝑘 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ 𝐴 ) ) |
| 220 |
219
|
notbid |
⊢ ( 𝑘 = 2 → ( ¬ 𝑘 ∥ 𝐴 ↔ ¬ 2 ∥ 𝐴 ) ) |
| 221 |
218 220
|
syl5ibcom |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → ( 𝑘 = 2 → ¬ 2 ∥ 𝐴 ) ) |
| 222 |
221
|
imp |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 = 2 ) → ¬ 2 ∥ 𝐴 ) |
| 223 |
222
|
iffalsed |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 = 2 ) → if ( 2 ∥ 𝐴 , 0 , if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) ) = if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) ) |
| 224 |
205 223
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 = 2 ) → ( 𝐴 /L 𝑘 ) = if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) ) |
| 225 |
|
neeq1 |
⊢ ( 1 = if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) → ( 1 ≠ 0 ↔ if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) ≠ 0 ) ) |
| 226 |
|
neeq1 |
⊢ ( - 1 = if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) → ( - 1 ≠ 0 ↔ if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) ≠ 0 ) ) |
| 227 |
225 226 4 41
|
keephyp |
⊢ if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) ≠ 0 |
| 228 |
227
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 = 2 ) → if ( ( 𝐴 mod 8 ) ∈ { 1 , 7 } , 1 , - 1 ) ≠ 0 ) |
| 229 |
224 228
|
eqnetrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 = 2 ) → ( 𝐴 /L 𝑘 ) ≠ 0 ) |
| 230 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → 𝑘 ∈ ℙ ) |
| 231 |
230
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → 𝑘 ∈ ℙ ) |
| 232 |
231 206
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ¬ 𝑘 ∥ 1 ) |
| 233 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → 𝑘 ∥ 𝑁 ) |
| 234 |
231 196
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
| 235 |
203
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
| 236 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → 𝑘 ≠ 2 ) |
| 237 |
|
eldifsn |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ↔ ( 𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ≠ 2 ) ) |
| 238 |
231 236 237
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → 𝑘 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ) |
| 239 |
|
oddprm |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) |
| 240 |
238 239
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) |
| 241 |
240
|
nnnn0d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) |
| 242 |
|
zexpcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℤ ) |
| 243 |
235 241 242
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℤ ) |
| 244 |
208
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
| 245 |
|
dvdsgcd |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 ∥ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → 𝑘 ∥ ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) gcd 𝑁 ) ) ) |
| 246 |
234 243 244 245
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ( 𝑘 ∥ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → 𝑘 ∥ ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) gcd 𝑁 ) ) ) |
| 247 |
233 246
|
mpan2d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( 𝑘 ∥ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) → 𝑘 ∥ ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) gcd 𝑁 ) ) ) |
| 248 |
235
|
zcnd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
| 249 |
248 241
|
absexpd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( abs ‘ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ) |
| 250 |
249
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) = ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 251 |
|
gcdabs |
⊢ ( ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) = ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) gcd 𝑁 ) ) |
| 252 |
243 244 251
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ( abs ‘ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) = ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) gcd 𝑁 ) ) |
| 253 |
|
gcdabs |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ 𝐴 ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) = ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) |
| 254 |
235 244 253
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ( abs ‘ 𝐴 ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) = ( 𝐴 gcd 𝑁 ) ) |
| 255 |
211
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) |
| 256 |
254 255
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ( abs ‘ 𝐴 ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) = 1 ) |
| 257 |
218
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ¬ 𝑘 ∥ 𝐴 ) |
| 258 |
|
dvds0 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∥ 0 ) |
| 259 |
234 258
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → 𝑘 ∥ 0 ) |
| 260 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝐴 = 0 → ( 𝑘 ∥ 𝐴 ↔ 𝑘 ∥ 0 ) ) |
| 261 |
259 260
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( 𝐴 = 0 → 𝑘 ∥ 𝐴 ) ) |
| 262 |
261
|
necon3bd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ¬ 𝑘 ∥ 𝐴 → 𝐴 ≠ 0 ) ) |
| 263 |
257 262
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → 𝐴 ≠ 0 ) |
| 264 |
|
nnabscl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ ) |
| 265 |
235 263 264
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ ) |
| 266 |
|
simpll3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → 𝑁 ≠ 0 ) |
| 267 |
208 266 48
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
| 268 |
267
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
| 269 |
|
rplpwr |
⊢ ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) → ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) = 1 → ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) = 1 ) ) |
| 270 |
265 268 240 269
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) = 1 → ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) = 1 ) ) |
| 271 |
256 270
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) gcd ( abs ‘ 𝑁 ) ) = 1 ) |
| 272 |
250 252 271
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) gcd 𝑁 ) = 1 ) |
| 273 |
272
|
breq2d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( 𝑘 ∥ ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) gcd 𝑁 ) ↔ 𝑘 ∥ 1 ) ) |
| 274 |
247 273
|
sylibd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( 𝑘 ∥ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) → 𝑘 ∥ 1 ) ) |
| 275 |
232 274
|
mtod |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ¬ 𝑘 ∥ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ) |
| 276 |
|
prmnn |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℕ ) |
| 277 |
276
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
| 278 |
277
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
| 279 |
|
dvdsval3 |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℤ ) → ( 𝑘 ∥ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ↔ ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑘 ) = 0 ) ) |
| 280 |
278 243 279
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( 𝑘 ∥ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ↔ ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑘 ) = 0 ) ) |
| 281 |
280
|
necon3bbid |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ¬ 𝑘 ∥ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) ↔ ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑘 ) ≠ 0 ) ) |
| 282 |
275 281
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑘 ) ≠ 0 ) |
| 283 |
|
lgsvalmod |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) ) → ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) mod 𝑘 ) = ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑘 ) ) |
| 284 |
235 238 283
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) mod 𝑘 ) = ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑘 ) ) |
| 285 |
278
|
nnrpd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → 𝑘 ∈ ℝ+ ) |
| 286 |
|
0mod |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℝ+ → ( 0 mod 𝑘 ) = 0 ) |
| 287 |
285 286
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( 0 mod 𝑘 ) = 0 ) |
| 288 |
282 284 287
|
3netr4d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) mod 𝑘 ) ≠ ( 0 mod 𝑘 ) ) |
| 289 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) = 0 → ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) mod 𝑘 ) = ( 0 mod 𝑘 ) ) |
| 290 |
289
|
necon3i |
⊢ ( ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) mod 𝑘 ) ≠ ( 0 mod 𝑘 ) → ( 𝐴 /L 𝑘 ) ≠ 0 ) |
| 291 |
288 290
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ∧ 𝑘 ≠ 2 ) → ( 𝐴 /L 𝑘 ) ≠ 0 ) |
| 292 |
229 291
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → ( 𝐴 /L 𝑘 ) ≠ 0 ) |
| 293 |
|
pczcl |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℙ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) → ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
| 294 |
230 208 266 293
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
| 295 |
294
|
nn0zd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
| 296 |
295
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
| 297 |
|
neeq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) → ( 𝑥 ≠ 0 ↔ ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) ≠ 0 ) ) |
| 298 |
|
expclz |
⊢ ( ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 /L 𝑘 ) ≠ 0 ∧ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
| 299 |
|
expne0i |
⊢ ( ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 /L 𝑘 ) ≠ 0 ∧ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) ≠ 0 ) |
| 300 |
297 298 299
|
elrabd |
⊢ ( ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 /L 𝑘 ) ≠ 0 ∧ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ) |
| 301 |
201 292 296 300
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ) |
| 302 |
|
dvdsabsb |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 ∥ 𝑁 ↔ 𝑘 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 303 |
197 208 302
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( 𝑘 ∥ 𝑁 ↔ 𝑘 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 304 |
303
|
notbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( ¬ 𝑘 ∥ 𝑁 ↔ ¬ 𝑘 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 305 |
|
pceq0 |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℙ ∧ ( abs ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) → ( ( 𝑘 pCnt ( abs ‘ 𝑁 ) ) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 306 |
230 267 305
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑘 pCnt ( abs ‘ 𝑁 ) ) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) |
| 307 |
208 168
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → 𝑁 ∈ ℚ ) |
| 308 |
|
pcabs |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ) → ( 𝑘 pCnt ( abs ‘ 𝑁 ) ) = ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) |
| 309 |
230 307 308
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( 𝑘 pCnt ( abs ‘ 𝑁 ) ) = ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) |
| 310 |
309
|
eqeq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑘 pCnt ( abs ‘ 𝑁 ) ) = 0 ↔ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) = 0 ) ) |
| 311 |
304 306 310
|
3bitr2rd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁 ) ) |
| 312 |
311
|
biimpar |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) = 0 ) |
| 313 |
312
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) = ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ 0 ) ) |
| 314 |
200
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → ( 𝐴 /L 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
| 315 |
314
|
exp0d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ 0 ) = 1 ) |
| 316 |
313 315
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) = 1 ) |
| 317 |
|
neeq1 |
⊢ ( 𝑥 = 1 → ( 𝑥 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0 ) ) |
| 318 |
317
|
elrab |
⊢ ( 1 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ↔ ( 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ) ) |
| 319 |
45 4 318
|
mpbir2an |
⊢ 1 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } |
| 320 |
316 319
|
eqeltrdi |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) ∧ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁 ) → ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ) |
| 321 |
301 320
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ ) → ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ) |
| 322 |
319
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ ) → 1 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ) |
| 323 |
321 322
|
ifclda |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) → if ( 𝑘 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ) |
| 324 |
323
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) → if ( 𝑘 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑘 ) ↑ ( 𝑘 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ) |
| 325 |
194 324
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( abs ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ) |
| 326 |
|
neeq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑘 → ( 𝑥 ≠ 0 ↔ 𝑘 ≠ 0 ) ) |
| 327 |
326
|
elrab |
⊢ ( 𝑘 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ↔ ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0 ) ) |
| 328 |
|
neeq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ≠ 0 ↔ 𝑦 ≠ 0 ) ) |
| 329 |
328
|
elrab |
⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ↔ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ) |
| 330 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ) → ( 𝑘 · 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
| 331 |
330
|
ad2ant2r |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ) → ( 𝑘 · 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
| 332 |
|
mulne0 |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ) → ( 𝑘 · 𝑦 ) ≠ 0 ) |
| 333 |
331 332
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑘 · 𝑦 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑘 · 𝑦 ) ≠ 0 ) ) |
| 334 |
327 329 333
|
syl2anb |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ) → ( ( 𝑘 · 𝑦 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑘 · 𝑦 ) ≠ 0 ) ) |
| 335 |
|
neeq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑘 · 𝑦 ) → ( 𝑥 ≠ 0 ↔ ( 𝑘 · 𝑦 ) ≠ 0 ) ) |
| 336 |
335
|
elrab |
⊢ ( ( 𝑘 · 𝑦 ) ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ↔ ( ( 𝑘 · 𝑦 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑘 · 𝑦 ) ≠ 0 ) ) |
| 337 |
334 336
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ) → ( 𝑘 · 𝑦 ) ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ) |
| 338 |
337
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ ( 𝑘 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ) ) → ( 𝑘 · 𝑦 ) ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ) |
| 339 |
184 325 338
|
seqcl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) → ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ) |
| 340 |
|
neeq1 |
⊢ ( 𝑥 = ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 ≠ 0 ↔ ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ≠ 0 ) ) |
| 341 |
340
|
elrab |
⊢ ( ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } ↔ ( ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℂ ∧ ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ≠ 0 ) ) |
| 342 |
341
|
simprbi |
⊢ ( ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ∈ { 𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ≠ 0 } → ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ≠ 0 ) |
| 343 |
339 342
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) → ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ≠ 0 ) |
| 344 |
343
|
ex |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 → ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ≠ 0 ) ) |
| 345 |
183 344
|
impbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( ( seq 1 ( · , ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ if ( 𝑛 ∈ ℙ , ( ( 𝐴 /L 𝑛 ) ↑ ( 𝑛 pCnt 𝑁 ) ) , 1 ) ) ) ‘ ( abs ‘ 𝑁 ) ) ≠ 0 ↔ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ) |
| 346 |
38 61 345
|
3bitrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 /L 𝑁 ) ≠ 0 ↔ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ) |
| 347 |
346
|
3expa |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 /L 𝑁 ) ≠ 0 ↔ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ) |
| 348 |
35 347
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 /L 𝑁 ) ≠ 0 ↔ ( 𝐴 gcd 𝑁 ) = 1 ) ) |