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Theorem lgsqrlem1

Description: Lemma for lgsqr . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015)

Ref Expression
Hypotheses lgsqr.y ⊢ 𝑌 = ( ℤ/nℤ ‘ 𝑃 )
lgsqr.s ⊢ 𝑆 = ( Poly1 ‘ 𝑌 )
lgsqr.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑆 )
lgsqr.d ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘ 𝑌 )
lgsqr.o ⊢ 𝑂 = ( eval1 ‘ 𝑌 )
lgsqr.e ⊢ ↑ = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑆 ) )
lgsqr.x ⊢ 𝑋 = ( var1 ‘ 𝑌 )
lgsqr.m ⊢ − = ( -g ‘ 𝑆 )
lgsqr.u ⊢ 1 = ( 1r ‘ 𝑆 )
lgsqr.t ⊢ 𝑇 = ( ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) − 1 )
lgsqr.l ⊢ 𝐿 = ( ℤRHom ‘ 𝑌 )
lgsqr.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) )
lgsqrlem1.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ )
lgsqrlem1.4 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) )
Assertion lgsqrlem1 ( 𝜑 → ( ( 𝑂 ‘ 𝑇 ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( 0g ‘ 𝑌 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lgsqr.y ⊢ 𝑌 = ( ℤ/nℤ ‘ 𝑃 )
2 lgsqr.s ⊢ 𝑆 = ( Poly1 ‘ 𝑌 )
3 lgsqr.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑆 )
4 lgsqr.d ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘ 𝑌 )
5 lgsqr.o ⊢ 𝑂 = ( eval1 ‘ 𝑌 )
6 lgsqr.e ⊢ ↑ = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑆 ) )
7 lgsqr.x ⊢ 𝑋 = ( var1 ‘ 𝑌 )
8 lgsqr.m ⊢ − = ( -g ‘ 𝑆 )
9 lgsqr.u ⊢ 1 = ( 1r ‘ 𝑆 )
10 lgsqr.t ⊢ 𝑇 = ( ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) − 1 )
11 lgsqr.l ⊢ 𝐿 = ( ℤRHom ‘ 𝑌 )
12 lgsqr.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) )
13 lgsqrlem1.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ )
14 lgsqrlem1.4 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) )
15 10 fveq2i ⊢ ( 𝑂 ‘ 𝑇 ) = ( 𝑂 ‘ ( ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) − 1 ) )
16 15 fveq1i ⊢ ( ( 𝑂 ‘ 𝑇 ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑂 ‘ ( ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) )
17 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝑌 ) = ( Base ‘ 𝑌 )
18 12 eldifad ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ )
19 1 znfld ⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field )
20 18 19 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ Field )
21 fldidom ⊢ ( 𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn )
22 20 21 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn )
23 isidom ⊢ ( 𝑌 ∈ IDomn ↔ ( 𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn ) )
24 23 simplbi ⊢ ( 𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing )
25 22 24 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ CRing )
26 crngring ⊢ ( 𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring )
27 25 26 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ Ring )
28 11 zrhrhm ⊢ ( 𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ ( ℤring RingHom 𝑌 ) )
29 27 28 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( ℤring RingHom 𝑌 ) )
30 zringbas ⊢ ℤ = ( Base ‘ ℤring )
31 30 17 rhmf ⊢ ( 𝐿 ∈ ( ℤring RingHom 𝑌 ) → 𝐿 : ℤ ⟶ ( Base ‘ 𝑌 ) )
32 29 31 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 : ℤ ⟶ ( Base ‘ 𝑌 ) )
33 32 13 ffvelcdmd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) )
34 5 7 17 2 3 25 33 evl1vard ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑋 ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) )
35 eqid ⊢ ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑌 ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑌 ) )
36 oddprm ⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℙ ∖ { 2 } ) → ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ )
37 12 36 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ )
38 37 nnnn0d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 )
39 5 2 17 3 25 33 34 6 35 38 evl1expd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑂 ‘ ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑌 ) ) ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) ) )
40 zringmpg ⊢ ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) = ( mulGrp ‘ ℤring )
41 eqid ⊢ ( mulGrp ‘ 𝑌 ) = ( mulGrp ‘ 𝑌 )
42 40 41 rhmmhm ⊢ ( 𝐿 ∈ ( ℤring RingHom 𝑌 ) → 𝐿 ∈ ( ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) MndHom ( mulGrp ‘ 𝑌 ) ) )
43 29 42 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) MndHom ( mulGrp ‘ 𝑌 ) ) )
44 40 30 mgpbas ⊢ ℤ = ( Base ‘ ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) )
45 eqid ⊢ ( .g ‘ ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) ) = ( .g ‘ ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) )
46 44 45 35 mhmmulg ⊢ ( ( 𝐿 ∈ ( ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) MndHom ( mulGrp ‘ 𝑌 ) ) ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ) → ( 𝐿 ‘ ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) ) 𝐴 ) ) = ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑌 ) ) ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) )
47 43 38 13 46 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 ‘ ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) ) 𝐴 ) ) = ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑌 ) ) ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) )
48 zsubrg ⊢ ℤ ∈ ( SubRing ‘ ℂfld )
49 eqid ⊢ ( mulGrp ‘ ℂfld ) = ( mulGrp ‘ ℂfld )
50 49 subrgsubm ⊢ ( ℤ ∈ ( SubRing ‘ ℂfld ) → ℤ ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) )
51 48 50 mp1i ⊢ ( 𝜑 → ℤ ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) )
52 eqid ⊢ ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) )
53 eqid ⊢ ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) = ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ )
54 52 53 45 submmulg ⊢ ( ( ℤ ∈ ( SubMnd ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) 𝐴 ) = ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) ) 𝐴 ) )
55 51 38 13 54 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) 𝐴 ) = ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) ) 𝐴 ) )
56 13 zcnd ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
57 cnfldexp ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) 𝐴 ) = ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) )
58 56 38 57 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ ℂfld ) ) 𝐴 ) = ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) )
59 55 58 eqtr3d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) ) 𝐴 ) = ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) )
60 59 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 ‘ ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) ) 𝐴 ) ) = ( 𝐿 ‘ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) )
61 prmnn ⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ )
62 18 61 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ )
63 zexpcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℤ )
64 13 38 63 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℤ )
65 1zzd ⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
66 moddvds ⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) − 1 ) ) )
67 62 64 65 66 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) mod 𝑃 ) = ( 1 mod 𝑃 ) ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) − 1 ) ) )
68 14 67 mpbid ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) − 1 ) )
69 62 nnnn0d ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0 )
70 1 11 zndvds ⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐿 ‘ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) = ( 𝐿 ‘ 1 ) ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) − 1 ) ) )
71 69 64 65 70 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐿 ‘ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) = ( 𝐿 ‘ 1 ) ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) − 1 ) ) )
72 68 71 mpbird ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 ‘ ( 𝐴 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ) ) = ( 𝐿 ‘ 1 ) )
73 zring1 ⊢ 1 = ( 1r ‘ ℤring )
74 eqid ⊢ ( 1r ‘ 𝑌 ) = ( 1r ‘ 𝑌 )
75 73 74 rhm1 ⊢ ( 𝐿 ∈ ( ℤring RingHom 𝑌 ) → ( 𝐿 ‘ 1 ) = ( 1r ‘ 𝑌 ) )
76 29 75 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 ‘ 1 ) = ( 1r ‘ 𝑌 ) )
77 60 72 76 3eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 ‘ ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( ( mulGrp ‘ ℂfld ) ↾s ℤ ) ) 𝐴 ) ) = ( 1r ‘ 𝑌 ) )
78 47 77 eqtr3d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑌 ) ) ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( 1r ‘ 𝑌 ) )
79 78 eqeq2d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑂 ‘ ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑌 ) ) ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝑂 ‘ ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( 1r ‘ 𝑌 ) ) )
80 79 anbi2d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑂 ‘ ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑌 ) ) ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑂 ‘ ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( 1r ‘ 𝑌 ) ) ) )
81 39 80 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑂 ‘ ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( 1r ‘ 𝑌 ) ) )
82 eqid ⊢ ( algSc ‘ 𝑆 ) = ( algSc ‘ 𝑆 )
83 17 74 ringidcl ⊢ ( 𝑌 ∈ Ring → ( 1r ‘ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) )
84 27 83 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 1r ‘ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) )
85 5 2 17 82 3 25 84 33 evl1scad ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( algSc ‘ 𝑆 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑌 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑂 ‘ ( ( algSc ‘ 𝑆 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑌 ) ) ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( 1r ‘ 𝑌 ) ) )
86 2 82 74 9 ply1scl1 ⊢ ( 𝑌 ∈ Ring → ( ( algSc ‘ 𝑆 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑌 ) ) = 1 )
87 27 86 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ 𝑆 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑌 ) ) = 1 )
88 87 eleq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( algSc ‘ 𝑆 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑌 ) ) ∈ 𝐵 ↔ 1 ∈ 𝐵 ) )
89 87 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑂 ‘ ( ( algSc ‘ 𝑆 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑌 ) ) ) = ( 𝑂 ‘ 1 ) )
90 89 fveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑂 ‘ ( ( algSc ‘ 𝑆 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑌 ) ) ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑂 ‘ 1 ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) )
91 90 eqeq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑂 ‘ ( ( algSc ‘ 𝑆 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑌 ) ) ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( 1r ‘ 𝑌 ) ↔ ( ( 𝑂 ‘ 1 ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( 1r ‘ 𝑌 ) ) )
92 88 91 anbi12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( algSc ‘ 𝑆 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑌 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑂 ‘ ( ( algSc ‘ 𝑆 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑌 ) ) ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( 1r ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑂 ‘ 1 ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( 1r ‘ 𝑌 ) ) ) )
93 85 92 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑂 ‘ 1 ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( 1r ‘ 𝑌 ) ) )
94 eqid ⊢ ( -g ‘ 𝑌 ) = ( -g ‘ 𝑌 )
95 5 2 17 3 25 33 81 93 8 94 evl1subd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) − 1 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑂 ‘ ( ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 1r ‘ 𝑌 ) ( -g ‘ 𝑌 ) ( 1r ‘ 𝑌 ) ) ) )
96 95 simprd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑂 ‘ ( ( ( ( 𝑃 − 1 ) / 2 ) ↑ 𝑋 ) − 1 ) ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 1r ‘ 𝑌 ) ( -g ‘ 𝑌 ) ( 1r ‘ 𝑌 ) ) )
97 16 96 eqtrid ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑂 ‘ 𝑇 ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 1r ‘ 𝑌 ) ( -g ‘ 𝑌 ) ( 1r ‘ 𝑌 ) ) )
98 ringgrp ⊢ ( 𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp )
99 27 98 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ Grp )
100 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝑌 ) = ( 0g ‘ 𝑌 )
101 17 100 94 grpsubid ⊢ ( ( 𝑌 ∈ Grp ∧ ( 1r ‘ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) → ( ( 1r ‘ 𝑌 ) ( -g ‘ 𝑌 ) ( 1r ‘ 𝑌 ) ) = ( 0g ‘ 𝑌 ) )
102 99 84 101 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( ( 1r ‘ 𝑌 ) ( -g ‘ 𝑌 ) ( 1r ‘ 𝑌 ) ) = ( 0g ‘ 𝑌 ) )
103 97 102 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑂 ‘ 𝑇 ) ‘ ( 𝐿 ‘ 𝐴 ) ) = ( 0g ‘ 𝑌 ) )