Theorem lidlacl

Description: An ideal is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	lidlcl.u	⊢ 𝑈 = ( LIdeal ‘ 𝑅 )
	lidlacl.p	⊢ + = ( +g ‘ 𝑅 )
Assertion	lidlacl	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ) ) → ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ 𝐼 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlcl.u	⊢ 𝑈 = ( LIdeal ‘ 𝑅 )
2		lidlacl.p	⊢ + = ( +g ‘ 𝑅 )
3		rlmplusg	⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) )
4	2 3	eqtri	⊢ + = ( +g ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) )
5	4	oveqi	⊢ ( 𝑋 + 𝑌 ) = ( 𝑋 ( +g ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) 𝑌 )
6		rlmlmod	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod )
7	6	adantr	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ) → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod )
8		simpr	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ) → 𝐼 ∈ 𝑈 )
9		lidlval	⊢ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) = ( LSubSp ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) )
10	1 9	eqtri	⊢ 𝑈 = ( LSubSp ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) )
11	8 10	eleqtrdi	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ) → 𝐼 ∈ ( LSubSp ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) )
12	7 11	jca	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ) → ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ ( LSubSp ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) ) )
13		eqid	⊢ ( +g ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) = ( +g ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) )
14		eqid	⊢ ( LSubSp ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) = ( LSubSp ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) )
15	13 14	lssvacl	⊢ ( ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ ( LSubSp ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ) ) → ( 𝑋 ( +g ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) 𝑌 ) ∈ 𝐼 )
16	12 15	sylan	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ) ) → ( 𝑋 ( +g ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) 𝑌 ) ∈ 𝐼 )
17	5 16	eqeltrid	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ) ) → ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ 𝐼 )