Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
limcrecl.1 |
β’ ( π β πΉ : π΄ βΆ β ) |
2 |
|
limcrecl.2 |
β’ ( π β π΄ β β ) |
3 |
|
limcrecl.3 |
β’ ( π β π΅ β ( ( limPt β ( TopOpen β βfld ) ) β π΄ ) ) |
4 |
|
limcrecl.4 |
β’ ( π β πΏ β ( πΉ limβ π΅ ) ) |
5 |
4
|
adantr |
β’ ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β πΏ β ( πΉ limβ π΅ ) ) |
6 |
|
limccl |
β’ ( πΉ limβ π΅ ) β β |
7 |
6 4
|
sselid |
β’ ( π β πΏ β β ) |
8 |
7
|
adantr |
β’ ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β πΏ β β ) |
9 |
|
simpr |
β’ ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β Β¬ πΏ β β ) |
10 |
8 9
|
eldifd |
β’ ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β πΏ β ( β β β ) ) |
11 |
10
|
dstregt0 |
β’ ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β β π₯ β β+ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) |
12 |
|
cnxmet |
β’ ( abs β β ) β ( βMet β β ) |
13 |
12
|
a1i |
β’ ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β ( abs β β ) β ( βMet β β ) ) |
14 |
2
|
ad4antr |
β’ ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β π΄ β β ) |
15 |
14
|
ssdifssd |
β’ ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β ( π΄ β { π΅ } ) β β ) |
16 |
|
eqid |
β’ ( TopOpen β βfld ) = ( TopOpen β βfld ) |
17 |
16
|
cnfldtop |
β’ ( TopOpen β βfld ) β Top |
18 |
17
|
a1i |
β’ ( π β ( TopOpen β βfld ) β Top ) |
19 |
|
unicntop |
β’ β = βͺ ( TopOpen β βfld ) |
20 |
2 19
|
sseqtrdi |
β’ ( π β π΄ β βͺ ( TopOpen β βfld ) ) |
21 |
|
eqid |
β’ βͺ ( TopOpen β βfld ) = βͺ ( TopOpen β βfld ) |
22 |
21
|
lpdifsn |
β’ ( ( ( TopOpen β βfld ) β Top β§ π΄ β βͺ ( TopOpen β βfld ) ) β ( π΅ β ( ( limPt β ( TopOpen β βfld ) ) β π΄ ) β π΅ β ( ( limPt β ( TopOpen β βfld ) ) β ( π΄ β { π΅ } ) ) ) ) |
23 |
18 20 22
|
syl2anc |
β’ ( π β ( π΅ β ( ( limPt β ( TopOpen β βfld ) ) β π΄ ) β π΅ β ( ( limPt β ( TopOpen β βfld ) ) β ( π΄ β { π΅ } ) ) ) ) |
24 |
3 23
|
mpbid |
β’ ( π β π΅ β ( ( limPt β ( TopOpen β βfld ) ) β ( π΄ β { π΅ } ) ) ) |
25 |
24
|
ad4antr |
β’ ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β π΅ β ( ( limPt β ( TopOpen β βfld ) ) β ( π΄ β { π΅ } ) ) ) |
26 |
|
simpr |
β’ ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β π¦ β β+ ) |
27 |
16
|
cnfldtopn |
β’ ( TopOpen β βfld ) = ( MetOpen β ( abs β β ) ) |
28 |
27
|
lpbl |
β’ ( ( ( ( abs β β ) β ( βMet β β ) β§ ( π΄ β { π΅ } ) β β β§ π΅ β ( ( limPt β ( TopOpen β βfld ) ) β ( π΄ β { π΅ } ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β β π§ β ( π΄ β { π΅ } ) π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) |
29 |
13 15 25 26 28
|
syl31anc |
β’ ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β β π§ β ( π΄ β { π΅ } ) π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) |
30 |
|
eldif |
β’ ( π§ β ( π΄ β { π΅ } ) β ( π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β { π΅ } ) ) |
31 |
30
|
anbi1i |
β’ ( ( π§ β ( π΄ β { π΅ } ) β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β ( ( π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β { π΅ } ) β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) |
32 |
|
anass |
β’ ( ( ( π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β { π΅ } ) β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β ( π§ β π΄ β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) ) |
33 |
31 32
|
bitri |
β’ ( ( π§ β ( π΄ β { π΅ } ) β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β ( π§ β π΄ β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) ) |
34 |
33
|
rexbii2 |
β’ ( β π§ β ( π΄ β { π΅ } ) π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) β β π§ β π΄ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) |
35 |
29 34
|
sylib |
β’ ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β β π§ β π΄ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) |
36 |
|
simprl |
β’ ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β Β¬ π§ β { π΅ } ) |
37 |
|
velsn |
β’ ( π§ β { π΅ } β π§ = π΅ ) |
38 |
37
|
necon3bbii |
β’ ( Β¬ π§ β { π΅ } β π§ β π΅ ) |
39 |
36 38
|
sylib |
β’ ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β π§ β π΅ ) |
40 |
|
simp-5l |
β’ ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β π ) |
41 |
|
simplr |
β’ ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β π¦ β β+ ) |
42 |
|
simprr |
β’ ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) |
43 |
|
simp3 |
β’ ( ( π β§ π¦ β β+ β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) |
44 |
12
|
a1i |
β’ ( ( π β§ π¦ β β+ β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β ( abs β β ) β ( βMet β β ) ) |
45 |
19
|
lpss |
β’ ( ( ( TopOpen β βfld ) β Top β§ π΄ β β ) β ( ( limPt β ( TopOpen β βfld ) ) β π΄ ) β β ) |
46 |
18 2 45
|
syl2anc |
β’ ( π β ( ( limPt β ( TopOpen β βfld ) ) β π΄ ) β β ) |
47 |
46 3
|
sseldd |
β’ ( π β π΅ β β ) |
48 |
47
|
3ad2ant1 |
β’ ( ( π β§ π¦ β β+ β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β π΅ β β ) |
49 |
|
rpxr |
β’ ( π¦ β β+ β π¦ β β* ) |
50 |
49
|
3ad2ant2 |
β’ ( ( π β§ π¦ β β+ β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β π¦ β β* ) |
51 |
|
elbl |
β’ ( ( ( abs β β ) β ( βMet β β ) β§ π΅ β β β§ π¦ β β* ) β ( π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) β ( π§ β β β§ ( π΅ ( abs β β ) π§ ) < π¦ ) ) ) |
52 |
44 48 50 51
|
syl3anc |
β’ ( ( π β§ π¦ β β+ β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β ( π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) β ( π§ β β β§ ( π΅ ( abs β β ) π§ ) < π¦ ) ) ) |
53 |
43 52
|
mpbid |
β’ ( ( π β§ π¦ β β+ β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β ( π§ β β β§ ( π΅ ( abs β β ) π§ ) < π¦ ) ) |
54 |
53
|
simpld |
β’ ( ( π β§ π¦ β β+ β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β π§ β β ) |
55 |
54 48
|
abssubd |
β’ ( ( π β§ π¦ β β+ β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β ( abs β ( π§ β π΅ ) ) = ( abs β ( π΅ β π§ ) ) ) |
56 |
|
eqid |
β’ ( abs β β ) = ( abs β β ) |
57 |
56
|
cnmetdval |
β’ ( ( π΅ β β β§ π§ β β ) β ( π΅ ( abs β β ) π§ ) = ( abs β ( π΅ β π§ ) ) ) |
58 |
48 54 57
|
syl2anc |
β’ ( ( π β§ π¦ β β+ β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β ( π΅ ( abs β β ) π§ ) = ( abs β ( π΅ β π§ ) ) ) |
59 |
53
|
simprd |
β’ ( ( π β§ π¦ β β+ β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β ( π΅ ( abs β β ) π§ ) < π¦ ) |
60 |
58 59
|
eqbrtrrd |
β’ ( ( π β§ π¦ β β+ β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β ( abs β ( π΅ β π§ ) ) < π¦ ) |
61 |
55 60
|
eqbrtrd |
β’ ( ( π β§ π¦ β β+ β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) |
62 |
40 41 42 61
|
syl3anc |
β’ ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) |
63 |
39 62
|
jca |
β’ ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) ) |
64 |
63
|
adantlr |
β’ ( ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ π§ β π΄ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) ) |
65 |
40
|
adantlr |
β’ ( ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ π§ β π΄ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β π ) |
66 |
|
simplr |
β’ ( ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ π§ β π΄ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β π§ β π΄ ) |
67 |
65 66
|
jca |
β’ ( ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ π§ β π΄ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β ( π β§ π§ β π΄ ) ) |
68 |
|
simp-5r |
β’ ( ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ π§ β π΄ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β π₯ β β+ ) |
69 |
|
simp-4r |
β’ ( ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ π§ β π΄ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) |
70 |
|
rpre |
β’ ( π₯ β β+ β π₯ β β ) |
71 |
70
|
ad2antlr |
β’ ( ( ( ( π β§ π§ β π΄ ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β π₯ β β ) |
72 |
1
|
ffvelrnda |
β’ ( ( π β§ π§ β π΄ ) β ( πΉ β π§ ) β β ) |
73 |
72
|
recnd |
β’ ( ( π β§ π§ β π΄ ) β ( πΉ β π§ ) β β ) |
74 |
73
|
ad2antrr |
β’ ( ( ( ( π β§ π§ β π΄ ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β ( πΉ β π§ ) β β ) |
75 |
7
|
ad3antrrr |
β’ ( ( ( ( π β§ π§ β π΄ ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β πΏ β β ) |
76 |
74 75
|
subcld |
β’ ( ( ( ( π β§ π§ β π΄ ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) β β ) |
77 |
76
|
abscld |
β’ ( ( ( ( π β§ π§ β π΄ ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) β β ) |
78 |
72
|
adantr |
β’ ( ( ( π β§ π§ β π΄ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β ( πΉ β π§ ) β β ) |
79 |
|
nfv |
β’ β² π€ π |
80 |
|
nfra1 |
β’ β² π€ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) |
81 |
79 80
|
nfan |
β’ β² π€ ( π β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) |
82 |
|
rspa |
β’ ( ( β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) β§ π€ β β ) β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) |
83 |
82
|
adantll |
β’ ( ( ( π β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π€ β β ) β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) |
84 |
7
|
adantr |
β’ ( ( π β§ π€ β β ) β πΏ β β ) |
85 |
|
ax-resscn |
β’ β β β |
86 |
85
|
a1i |
β’ ( π β β β β ) |
87 |
86
|
sselda |
β’ ( ( π β§ π€ β β ) β π€ β β ) |
88 |
84 87
|
abssubd |
β’ ( ( π β§ π€ β β ) β ( abs β ( πΏ β π€ ) ) = ( abs β ( π€ β πΏ ) ) ) |
89 |
88
|
adantlr |
β’ ( ( ( π β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π€ β β ) β ( abs β ( πΏ β π€ ) ) = ( abs β ( π€ β πΏ ) ) ) |
90 |
83 89
|
breqtrd |
β’ ( ( ( π β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π€ β β ) β π₯ < ( abs β ( π€ β πΏ ) ) ) |
91 |
90
|
ex |
β’ ( ( π β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β ( π€ β β β π₯ < ( abs β ( π€ β πΏ ) ) ) ) |
92 |
81 91
|
ralrimi |
β’ ( ( π β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β β π€ β β π₯ < ( abs β ( π€ β πΏ ) ) ) |
93 |
92
|
adantlr |
β’ ( ( ( π β§ π§ β π΄ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β β π€ β β π₯ < ( abs β ( π€ β πΏ ) ) ) |
94 |
|
fvoveq1 |
β’ ( π€ = ( πΉ β π§ ) β ( abs β ( π€ β πΏ ) ) = ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) ) |
95 |
94
|
breq2d |
β’ ( π€ = ( πΉ β π§ ) β ( π₯ < ( abs β ( π€ β πΏ ) ) β π₯ < ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) ) ) |
96 |
95
|
rspcv |
β’ ( ( πΉ β π§ ) β β β ( β π€ β β π₯ < ( abs β ( π€ β πΏ ) ) β π₯ < ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) ) ) |
97 |
78 93 96
|
sylc |
β’ ( ( ( π β§ π§ β π΄ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β π₯ < ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) ) |
98 |
97
|
adantlr |
β’ ( ( ( ( π β§ π§ β π΄ ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β π₯ < ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) ) |
99 |
71 77 98
|
ltnsymd |
β’ ( ( ( ( π β§ π§ β π΄ ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β Β¬ ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) |
100 |
67 68 69 99
|
syl21anc |
β’ ( ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ π§ β π΄ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β Β¬ ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) |
101 |
64 100
|
jcnd |
β’ ( ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ π§ β π΄ ) β§ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) ) β Β¬ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) |
102 |
101
|
ex |
β’ ( ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β§ π§ β π΄ ) β ( ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β Β¬ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) ) |
103 |
102
|
reximdva |
β’ ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β ( β π§ β π΄ ( Β¬ π§ β { π΅ } β§ π§ β ( π΅ ( ball β ( abs β β ) ) π¦ ) ) β β π§ β π΄ Β¬ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) ) |
104 |
35 103
|
mpd |
β’ ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β β π§ β π΄ Β¬ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) |
105 |
|
rexnal |
β’ ( β π§ β π΄ Β¬ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) β Β¬ β π§ β π΄ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) |
106 |
104 105
|
sylib |
β’ ( ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β§ π¦ β β+ ) β Β¬ β π§ β π΄ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) |
107 |
106
|
nrexdv |
β’ ( ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β§ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) ) β Β¬ β π¦ β β+ β π§ β π΄ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) |
108 |
107
|
ex |
β’ ( ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β§ π₯ β β+ ) β ( β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) β Β¬ β π¦ β β+ β π§ β π΄ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) ) |
109 |
108
|
reximdva |
β’ ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β ( β π₯ β β+ β π€ β β π₯ < ( abs β ( πΏ β π€ ) ) β β π₯ β β+ Β¬ β π¦ β β+ β π§ β π΄ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) ) |
110 |
11 109
|
mpd |
β’ ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β β π₯ β β+ Β¬ β π¦ β β+ β π§ β π΄ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) |
111 |
|
rexnal |
β’ ( β π₯ β β+ Β¬ β π¦ β β+ β π§ β π΄ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) β Β¬ β π₯ β β+ β π¦ β β+ β π§ β π΄ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) |
112 |
110 111
|
sylib |
β’ ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β Β¬ β π₯ β β+ β π¦ β β+ β π§ β π΄ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) |
113 |
112
|
intnand |
β’ ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β Β¬ ( πΏ β β β§ β π₯ β β+ β π¦ β β+ β π§ β π΄ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) ) |
114 |
1 86
|
fssd |
β’ ( π β πΉ : π΄ βΆ β ) |
115 |
114 2 47
|
ellimc3 |
β’ ( π β ( πΏ β ( πΉ limβ π΅ ) β ( πΏ β β β§ β π₯ β β+ β π¦ β β+ β π§ β π΄ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) ) ) |
116 |
115
|
adantr |
β’ ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β ( πΏ β ( πΉ limβ π΅ ) β ( πΏ β β β§ β π₯ β β+ β π¦ β β+ β π§ β π΄ ( ( π§ β π΅ β§ ( abs β ( π§ β π΅ ) ) < π¦ ) β ( abs β ( ( πΉ β π§ ) β πΏ ) ) < π₯ ) ) ) ) |
117 |
113 116
|
mtbird |
β’ ( ( π β§ Β¬ πΏ β β ) β Β¬ πΏ β ( πΉ limβ π΅ ) ) |
118 |
5 117
|
condan |
β’ ( π β πΏ β β ) |