Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iskgen3.1 |
⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽 |
2 |
|
llycmpkgen2.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ Top ) |
3 |
|
llycmpkgen2.3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ∃ 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) |
4 |
|
elssuni |
⊢ ( 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) → 𝑢 ⊆ ∪ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) |
5 |
4
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) → 𝑢 ⊆ ∪ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) |
6 |
1
|
kgenuni |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → 𝑋 = ∪ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) |
7 |
2 6
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 = ∪ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) |
8 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) → 𝑋 = ∪ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) |
9 |
5 8
|
sseqtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) → 𝑢 ⊆ 𝑋 ) |
10 |
9
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 ) |
11 |
3
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ∃ 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) |
12 |
10 11
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → ∃ 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) |
13 |
2
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝐽 ∈ Top ) |
14 |
|
difss |
⊢ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ⊆ 𝑋 |
15 |
1
|
ntropn |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ⊆ 𝑋 ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∈ 𝐽 ) |
16 |
13 14 15
|
sylancl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∈ 𝐽 ) |
17 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ) |
18 |
1
|
neii1 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ) → 𝑘 ⊆ 𝑋 ) |
19 |
13 17 18
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑘 ⊆ 𝑋 ) |
20 |
1
|
ntropn |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ⊆ 𝑋 ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝐽 ) |
21 |
13 19 20
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝐽 ) |
22 |
|
inopn |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∈ 𝐽 ∧ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝐽 ) → ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ 𝐽 ) |
23 |
13 16 21 22
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ 𝐽 ) |
24 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑥 ∈ 𝑢 ) |
25 |
1
|
ntrss2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ⊆ 𝑋 ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ⊆ 𝑘 ) |
26 |
13 19 25
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ⊆ 𝑘 ) |
27 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 ) |
28 |
27
|
snssd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → { 𝑥 } ⊆ 𝑋 ) |
29 |
1
|
neiint |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ { 𝑥 } ⊆ 𝑋 ∧ 𝑘 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ↔ { 𝑥 } ⊆ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ) |
30 |
13 28 19 29
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ↔ { 𝑥 } ⊆ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ) |
31 |
17 30
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → { 𝑥 } ⊆ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) |
32 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
33 |
32
|
snss |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ↔ { 𝑥 } ⊆ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) |
34 |
31 33
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑥 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) |
35 |
26 34
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑥 ∈ 𝑘 ) |
36 |
24 35
|
elind |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ) |
37 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) |
38 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) |
39 |
|
kgeni |
⊢ ( ( 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) → ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) |
40 |
37 38 39
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) |
41 |
|
vex |
⊢ 𝑘 ∈ V |
42 |
|
resttop |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ∈ V ) → ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Top ) |
43 |
13 41 42
|
sylancl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Top ) |
44 |
|
inss2 |
⊢ ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ⊆ 𝑘 |
45 |
1
|
restuni |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ⊆ 𝑋 ) → 𝑘 = ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) |
46 |
13 19 45
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑘 = ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) |
47 |
44 46
|
sseqtrid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) |
48 |
|
eqid |
⊢ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) = ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) |
49 |
48
|
isopn3 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Top ∧ ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) → ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ↔ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ) = ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ) ) |
50 |
43 47 49
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∈ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ↔ ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ) = ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ) ) |
51 |
40 50
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ) = ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ) |
52 |
44
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ⊆ 𝑘 ) |
53 |
|
eqid |
⊢ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) = ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) |
54 |
1 53
|
restntr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑘 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ⊆ 𝑘 ) → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ) = ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ ( 𝑋 ∖ 𝑘 ) ) ) ∩ 𝑘 ) ) |
55 |
13 19 52 54
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( int ‘ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ) = ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ ( 𝑋 ∖ 𝑘 ) ) ) ∩ 𝑘 ) ) |
56 |
51 55
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) = ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ ( 𝑋 ∖ 𝑘 ) ) ) ∩ 𝑘 ) ) |
57 |
36 56
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ ( 𝑋 ∖ 𝑘 ) ) ) ∩ 𝑘 ) ) |
58 |
57
|
elin1d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑥 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ ( 𝑋 ∖ 𝑘 ) ) ) ) |
59 |
|
undif3 |
⊢ ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ ( 𝑋 ∖ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ 𝑋 ) ∖ ( 𝑘 ∖ ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ) ) |
60 |
|
incom |
⊢ ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) = ( 𝑘 ∩ 𝑢 ) |
61 |
60
|
difeq2i |
⊢ ( 𝑘 ∖ ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ) = ( 𝑘 ∖ ( 𝑘 ∩ 𝑢 ) ) |
62 |
|
difin |
⊢ ( 𝑘 ∖ ( 𝑘 ∩ 𝑢 ) ) = ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) |
63 |
61 62
|
eqtri |
⊢ ( 𝑘 ∖ ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ) = ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) |
64 |
63
|
difeq2i |
⊢ ( ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ 𝑋 ) ∖ ( 𝑘 ∖ ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ 𝑋 ) ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) |
65 |
59 64
|
eqtri |
⊢ ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ ( 𝑋 ∖ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ 𝑋 ) ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) |
66 |
44 19
|
sstrid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ⊆ 𝑋 ) |
67 |
|
ssequn1 |
⊢ ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ⊆ 𝑋 ↔ ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ 𝑋 ) = 𝑋 ) |
68 |
66 67
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ 𝑋 ) = 𝑋 ) |
69 |
68
|
difeq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ 𝑋 ) ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) = ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) |
70 |
65 69
|
eqtrid |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ ( 𝑋 ∖ 𝑘 ) ) = ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) |
71 |
70
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( ( 𝑢 ∩ 𝑘 ) ∪ ( 𝑋 ∖ 𝑘 ) ) ) = ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ) |
72 |
58 71
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑥 ∈ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ) |
73 |
72 34
|
elind |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ) |
74 |
|
sslin |
⊢ ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ⊆ 𝑘 → ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ⊆ ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ 𝑘 ) ) |
75 |
26 74
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ⊆ ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ 𝑘 ) ) |
76 |
1
|
ntrss2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ⊆ 𝑋 ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) |
77 |
13 14 76
|
sylancl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) |
78 |
77
|
difss2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ⊆ 𝑋 ) |
79 |
|
reldisj |
⊢ ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ⊆ 𝑋 → ( ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) = ∅ ↔ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ) |
80 |
78 79
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) = ∅ ↔ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ) |
81 |
77 80
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) = ∅ ) |
82 |
|
inssdif0 |
⊢ ( ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ 𝑘 ) ⊆ 𝑢 ↔ ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) = ∅ ) |
83 |
81 82
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ 𝑘 ) ⊆ 𝑢 ) |
84 |
75 83
|
sstrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ⊆ 𝑢 ) |
85 |
|
eleq2 |
⊢ ( 𝑧 = ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
86 |
|
sseq1 |
⊢ ( 𝑧 = ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( 𝑧 ⊆ 𝑢 ↔ ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ⊆ 𝑢 ) ) |
87 |
85 86
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢 ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ⊆ 𝑢 ) ) ) |
88 |
87
|
rspcev |
⊢ ( ( ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ 𝐽 ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ∧ ( ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑋 ∖ ( 𝑘 ∖ 𝑢 ) ) ) ∩ ( ( int ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑘 ) ) ⊆ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢 ) ) |
89 |
23 73 84 88
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑥 } ) ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Comp ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢 ) ) |
90 |
12 89
|
rexlimddv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢 ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢 ) ) |
91 |
90
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑢 ∃ 𝑧 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢 ) ) |
92 |
91
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑢 ∃ 𝑧 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢 ) ) ) |
93 |
|
eltop2 |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( 𝑢 ∈ 𝐽 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑢 ∃ 𝑧 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢 ) ) ) |
94 |
2 93
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑢 ∈ 𝐽 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑢 ∃ 𝑧 ∈ 𝐽 ( 𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑢 ) ) ) |
95 |
92 94
|
sylibrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑢 ∈ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) → 𝑢 ∈ 𝐽 ) ) |
96 |
95
|
ssrdv |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ⊆ 𝐽 ) |
97 |
|
iskgen2 |
⊢ ( 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ↔ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑘Gen ‘ 𝐽 ) ⊆ 𝐽 ) ) |
98 |
2 96 97
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ran 𝑘Gen ) |