Theorem lmodvsdi

Description: Distributive law for scalar product (left-distributivity). ( ax-hvdistr1 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	lmodvsdi.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
	lmodvsdi.a	⊢ + = ( +g ‘ 𝑊 )
	lmodvsdi.f	⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
	lmodvsdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
	lmodvsdi.k	⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
Assertion	lmodvsdi	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsdi.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
2		lmodvsdi.a	⊢ + = ( +g ‘ 𝑊 )
3		lmodvsdi.f	⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
4		lmodvsdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
5		lmodvsdi.k	⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
6		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝐹 ) = ( +g ‘ 𝐹 )
7		eqid	⊢ ( .r ‘ 𝐹 ) = ( .r ‘ 𝐹 )
8		eqid	⊢ ( 1r ‘ 𝐹 ) = ( 1r ‘ 𝐹 )
9	1 2 4 3 5 6 7 8	lmodlema	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑅 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 1r ‘ 𝐹 ) · 𝑋 ) = 𝑋 ) ) )
10	9	simpld	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) )
11	10	simp2d	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) )
12	11	3expia	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ) )
13	12	anabsan2	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ) → ( ( 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ) )
14	13	exp4b	⊢ ( 𝑊 ∈ LMod → ( 𝑅 ∈ 𝐾 → ( 𝑌 ∈ 𝑉 → ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ) ) ) )
15	14	com34	⊢ ( 𝑊 ∈ LMod → ( 𝑅 ∈ 𝐾 → ( 𝑋 ∈ 𝑉 → ( 𝑌 ∈ 𝑉 → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) ) ) ) )
16	15	3imp2	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑌 ) ) )