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Theorem lmodvsdir

Description: Distributive law for scalar product (right-distributivity). ( ax-hvdistr1 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015)

Ref Expression
Hypotheses lmodvsdir.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
lmodvsdir.a + = ( +g𝑊 )
lmodvsdir.f 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
lmodvsdir.s · = ( ·𝑠𝑊 )
lmodvsdir.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
lmodvsdir.p = ( +g𝐹 )
Assertion lmodvsdir ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lmodvsdir.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
2 lmodvsdir.a + = ( +g𝑊 )
3 lmodvsdir.f 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
4 lmodvsdir.s · = ( ·𝑠𝑊 )
5 lmodvsdir.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
6 lmodvsdir.p = ( +g𝐹 )
7 eqid ( .r𝐹 ) = ( .r𝐹 )
8 eqid ( 1r𝐹 ) = ( 1r𝐹 )
9 1 2 4 3 5 6 7 8 lmodlema ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑄𝐾𝑅𝐾 ) ∧ ( 𝑋𝑉𝑋𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑋 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑄 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ( .r𝐹 ) 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( 𝑄 · ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 1r𝐹 ) · 𝑋 ) = 𝑋 ) ) )
10 9 simpld ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑄𝐾𝑅𝐾 ) ∧ ( 𝑋𝑉𝑋𝑉 ) ) → ( ( 𝑅 · 𝑋 ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑅 · ( 𝑋 + 𝑋 ) ) = ( ( 𝑅 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑄 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) )
11 10 simp3d ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑄𝐾𝑅𝐾 ) ∧ ( 𝑋𝑉𝑋𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
12 11 3expa ( ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑄𝐾𝑅𝐾 ) ) ∧ ( 𝑋𝑉𝑋𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
13 12 anabsan2 ( ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑄𝐾𝑅𝐾 ) ) ∧ 𝑋𝑉 ) → ( ( 𝑄 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )
14 13 exp42 ( 𝑊 ∈ LMod → ( 𝑄𝐾 → ( 𝑅𝐾 → ( 𝑋𝑉 → ( ( 𝑄 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) ) ) ) )
15 14 3imp2 ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉 ) ) → ( ( 𝑄 𝑅 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑄 · 𝑋 ) + ( 𝑅 · 𝑋 ) ) )