Theorem lncvrat

Description: A line covers the atoms it contains. (Contributed by NM, 30-Apr-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	lncvrat.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	lncvrat.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	lncvrat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘ 𝐾 )
	lncvrat.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	lncvrat.n	⊢ 𝑁 = ( Lines ‘ 𝐾 )
	lncvrat.m	⊢ 𝑀 = ( pmap ‘ 𝐾 )
Assertion	lncvrat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → 𝑃 𝐶 𝑋 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lncvrat.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		lncvrat.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		lncvrat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘ 𝐾 )
4		lncvrat.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		lncvrat.n	⊢ 𝑁 = ( Lines ‘ 𝐾 )
6		lncvrat.m	⊢ 𝑀 = ( pmap ‘ 𝐾 )
7		simprl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 )
8		simpl1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
9		simpl2	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
10		eqid	⊢ ( join ‘ 𝐾 ) = ( join ‘ 𝐾 )
11	1 10 4 5 6	isline3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ↔ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) )
12	8 9 11	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ↔ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) )
13	7 12	mpbid	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) )
14		simp1l1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
15		simp1l3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
16		simp2l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑞 ∈ 𝐴 )
17		simp2r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑟 ∈ 𝐴 )
18		simp3l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑞 ≠ 𝑟 )
19		simp1rr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑃 ≤ 𝑋 )
20		simp3r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) )
21	19 20	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑃 ≤ ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) )
22	2 10 3 4	atcvrj2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑃 𝐶 ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) )
23	14 15 16 17 18 21 22	syl132anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑃 𝐶 ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) )
24	23 20	breqtrrd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑃 𝐶 𝑋 )
25	24	3exp	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) → 𝑃 𝐶 𝑋 ) ) )
26	25	rexlimdvv	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑋 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) → 𝑃 𝐶 𝑋 ) )
27	13 26	mpd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) ) → 𝑃 𝐶 𝑋 )