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Theorem lplnnlelln

Description: A lattice plane is not less than or equal to a lattice line. (Contributed by NM, 14-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses lplnnlelln.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
lplnnlelln.n ⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
lplnnlelln.p ⊢ 𝑃 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
Assertion lplnnlelln ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lplnnlelln.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 lplnnlelln.n ⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
3 lplnnlelln.p ⊢ 𝑃 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
4 simp3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → 𝑌 ∈ 𝑁 )
5 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
6 eqid ⊢ ( join ‘ 𝐾 ) = ( join ‘ 𝐾 )
7 eqid ⊢ ( Atoms ‘ 𝐾 ) = ( Atoms ‘ 𝐾 )
8 5 6 7 2 islln2 ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( 𝑌 ∈ 𝑁 ↔ ( 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∃ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) ) )
9 8 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑌 ∈ 𝑁 ↔ ( 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∃ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) ) )
10 4 9 mpbid ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∃ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) )
11 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
12 simp12 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 )
13 simp2l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
14 simp2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
15 1 6 7 3 lplnnle2at ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ) → ¬ 𝑋 ≤ ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) )
16 11 12 13 14 15 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → ¬ 𝑋 ≤ ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) )
17 simp3r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) )
18 17 breq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) )
19 16 18 mtbird ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌 )
20 19 3exp ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) )
21 20 rexlimdvv ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ( ∃ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∃ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ) )
22 21 adantld ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∃ 𝑟 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ( 𝑞 ≠ 𝑟 ∧ 𝑌 = ( 𝑞 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑟 ) ) ) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ) )
23 10 22 mpd ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌 )