Theorem lpss3

Description: Subset relationship for limit points. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016)

	Ref	Expression
Hypothesis	lpfval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
Assertion	lpss3	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ⊆ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		simp1	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ) → 𝐽 ∈ Top )
3		simp2	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ) → 𝑆 ⊆ 𝑋 )
4	3	ssdifssd	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑥 } ) ⊆ 𝑋 )
5		simp3	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ) → 𝑇 ⊆ 𝑆 )
6	5	ssdifd	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ) → ( 𝑇 ∖ { 𝑥 } ) ⊆ ( 𝑆 ∖ { 𝑥 } ) )
7	1	clsss	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑥 } ) ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝑇 ∖ { 𝑥 } ) ⊆ ( 𝑆 ∖ { 𝑥 } ) ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑇 ∖ { 𝑥 } ) ) ⊆ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑆 ∖ { 𝑥 } ) ) )
8	2 4 6 7	syl3anc	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑇 ∖ { 𝑥 } ) ) ⊆ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑆 ∖ { 𝑥 } ) ) )
9	8	sseld	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑇 ∖ { 𝑥 } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑆 ∖ { 𝑥 } ) ) ) )
10	5 3	sstrd	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ) → 𝑇 ⊆ 𝑋 )
11	1	islp	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑇 ∖ { 𝑥 } ) ) ) )
12	2 10 11	syl2anc	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑇 ∖ { 𝑥 } ) ) ) )
13	1	islp	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑆 ∖ { 𝑥 } ) ) ) )
14	2 3 13	syl2anc	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ ( 𝑆 ∖ { 𝑥 } ) ) ) )
15	9 12 14	3imtr4d	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) → 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ) )
16	15	ssrdv	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ⊆ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) )