Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lspindp1.v |
⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 ) |
2 |
|
lspindp1.o |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
lspindp1.n |
⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑊 ) |
4 |
|
lspindp1.w |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ LVec ) |
5 |
|
lspindp1.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
6 |
|
lspindp1.z |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉 ) |
7 |
|
lspindp1.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉 ) |
8 |
|
lspindp1.q |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) |
9 |
|
lspindp1.e |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) |
10 |
5
|
eldifad |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
11 |
1 3 4 7 10 6 9
|
lspindpi |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) |
12 |
11
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) |
13 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑌 } ) ) → 𝑊 ∈ LVec ) |
14 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑌 } ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
15 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑌 } ) ) → 𝑍 ∈ 𝑉 ) |
16 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑌 } ) ) → 𝑌 ∈ 𝑉 ) |
17 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑌 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) |
18 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑌 } ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑌 } ) ) |
19 |
1 2 3 13 14 15 16 17 18
|
lspexch |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑌 } ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) |
20 |
9 19
|
mtand |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑌 } ) ) |
21 |
12 20
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 , 𝑌 } ) ) ) |