Theorem ltmod

Description: A sufficient condition for a "less than" relationship for the mod operator. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	ltmod.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
	ltmod.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+ )
	ltmod.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,) 𝐴 ) )
Assertion	ltmod	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 mod 𝐵 ) < ( 𝐴 mod 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmod.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
2		ltmod.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+ )
3		ltmod.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,) 𝐴 ) )
4	1 2	modcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 mod 𝐵 ) ∈ ℝ )
5	1 4	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
6	1	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* )
7		icossre	⊢ ( ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,) 𝐴 ) ⊆ ℝ )
8	5 6 7	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,) 𝐴 ) ⊆ ℝ )
9	8 3	sseldd	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
10	2	rpred	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
11	9 2	rerpdivcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 / 𝐵 ) ∈ ℝ )
12	11	flcld	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ∈ ℤ )
13	12	zred	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
14	10 13	remulcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ )
15	5	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ∈ ℝ* )
16		icoltub	⊢ ( ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,) 𝐴 ) ) → 𝐶 < 𝐴 )
17	15 6 3 16	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 < 𝐴 )
18	9 1 14 17	ltsub1dd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) ) < ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) ) )
19		icossicc	⊢ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,) 𝐴 ) ⊆ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,] 𝐴 )
20	19 3	sseldi	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,] 𝐴 ) )
21	1 2 20	lefldiveq	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) = ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) )
22	21	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) = ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) )
23	22	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) = ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) )
24	23	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) )
25	18 24	breqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) ) < ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) )
26		modval	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐶 mod 𝐵 ) = ( 𝐶 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) ) )
27	9 2 26	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 mod 𝐵 ) = ( 𝐶 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) ) )
28		modval	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 mod 𝐵 ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) )
29	1 2 28	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 mod 𝐵 ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) )
30	25 27 29	3brtr4d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 mod 𝐵 ) < ( 𝐴 mod 𝐵 ) )