Theorem ltmul2

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of Apostol p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005)

	Ref	Expression
Assertion	ltmul2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐶 · 𝐴 ) < ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
2		recn	⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ )
3		recn	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ )
4		mulcom	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐶 · 𝐴 ) )
5	3 4	sylan	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐶 · 𝐴 ) )
6	5	3adant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐶 · 𝐴 ) )
7		recn	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ )
8		mulcom	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) = ( 𝐶 · 𝐵 ) )
9	7 8	sylan	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) = ( 𝐶 · 𝐵 ) )
10	9	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) = ( 𝐶 · 𝐵 ) )
11	6 10	breq12d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) ↔ ( 𝐶 · 𝐴 ) < ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
12	2 11	syl3an3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) ↔ ( 𝐶 · 𝐴 ) < ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
13	12	3adant3r	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) ↔ ( 𝐶 · 𝐴 ) < ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
14	1 13	bitrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐶 · 𝐴 ) < ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )