Metamath Proof Explorer

Theorem lvolnlelln

Description: A lattice line cannot majorize a lattice volume. (Contributed by NM, 14-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses lvolnlelln.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
lvolnlelln.n ⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
lvolnlelln.v ⊢ 𝑉 = ( LVols ‘ 𝐾 )
Assertion lvolnlelln ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lvolnlelln.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 lvolnlelln.n ⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
3 lvolnlelln.v ⊢ 𝑉 = ( LVols ‘ 𝐾 )
4 simp3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → 𝑌 ∈ 𝑁 )
5 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
6 eqid ⊢ ( join ‘ 𝐾 ) = ( join ‘ 𝐾 )
7 eqid ⊢ ( Atoms ‘ 𝐾 ) = ( Atoms ‘ 𝐾 )
8 5 6 7 2 islln2 ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( 𝑌 ∈ 𝑁 ↔ ( 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∃ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) ) )
9 8 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑌 ∈ 𝑁 ↔ ( 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∃ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) ) )
10 4 9 mpbid ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∃ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) )
11 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
12 simp12 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑉 )
13 simp2l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
14 simp2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
15 1 6 7 3 lvolnle3at ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ) → ¬ 𝑋 ≤ ( ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑝 ) ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) )
16 11 12 13 13 14 15 syl23anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → ¬ 𝑋 ≤ ( ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑝 ) ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) )
17 simp3r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) )
18 6 7 hlatjidm ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑝 ) = 𝑝 )
19 11 13 18 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑝 ) = 𝑝 )
20 19 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → ( ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑝 ) ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) )
21 17 20 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝑌 = ( ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑝 ) ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) )
22 21 breq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ ( ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑝 ) ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) )
23 16 22 mtbird ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌 )
24 23 3exp ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ) ) )
25 24 rexlimdvv ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∃ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ) )
26 25 adantld ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∃ 𝑞 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ) )
27 10 26 mpd ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌 )