Theorem m2cpm

Description: The result of a matrix transformation is a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 18-Nov-2019) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	m2cpm.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑁 ConstPolyMat 𝑅 )
	m2cpm.t	⊢ 𝑇 = ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 )
	m2cpm.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
	m2cpm.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
Assertion	m2cpm	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ 𝑆 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2cpm.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑁 ConstPolyMat 𝑅 )
2		m2cpm.t	⊢ 𝑇 = ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 )
3		m2cpm.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
4		m2cpm.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
5		eqid	⊢ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) = ( Poly1 ‘ 𝑅 )
6		eqid	⊢ ( algSc ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) = ( algSc ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) )
7	2 3 4 5 6	mat2pmatvalel	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝑗 ) = ( ( algSc ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ‘ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) )
8	7	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝑗 ) = ( ( algSc ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ‘ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) )
9	8	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( coe1 ‘ ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝑗 ) ) = ( coe1 ‘ ( ( algSc ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ‘ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) )
10	9	fveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( coe1 ‘ ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝑗 ) ) ‘ 𝑛 ) = ( ( coe1 ‘ ( ( algSc ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ‘ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) ‘ 𝑛 ) )
11		simpl2	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
12		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
13		simprl	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ 𝑁 )
14		simprr	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑗 ∈ 𝑁 )
15		simpl3	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ 𝐵 )
16	3 12 4 13 14 15	matecld	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
17	11 16	jca	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) )
18	17	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) )
19		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 )
20	5 6 12 19	coe1scl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( coe1 ‘ ( ( algSc ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ‘ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if ( 𝑘 = 0 , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
21	18 20	syl	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( coe1 ‘ ( ( algSc ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ‘ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if ( 𝑘 = 0 , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
22		eqeq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝑘 = 0 ↔ 𝑛 = 0 ) )
23	22	ifbid	⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → if ( 𝑘 = 0 , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = if ( 𝑛 = 0 , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
24	23	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 = 𝑛 ) → if ( 𝑘 = 0 , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = if ( 𝑛 = 0 , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
25		nnnn0	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0 )
26	25	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℕ0 )
27		ovex	⊢ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ∈ V
28		fvex	⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V
29	27 28	ifex	⊢ if ( 𝑛 = 0 , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ∈ V
30	29	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → if ( 𝑛 = 0 , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ∈ V )
31	21 24 26 30	fvmptd	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( coe1 ‘ ( ( algSc ‘ ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ‘ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) ‘ 𝑛 ) = if ( 𝑛 = 0 , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
32		nnne0	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0 )
33	32	neneqd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0 )
34	33	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ¬ 𝑛 = 0 )
35	34	iffalsed	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → if ( 𝑛 = 0 , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
36	10 31 35	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( coe1 ‘ ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝑗 ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
37	36	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑛 ∈ ℕ ( ( coe1 ‘ ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝑗 ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
38	37	ralrimivva	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ∀ 𝑛 ∈ ℕ ( ( coe1 ‘ ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝑗 ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
39		eqid	⊢ ( 𝑁 Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝑁 Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) )
40	2 3 4 5 39	mat2pmatbas	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑁 Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) )
41		eqid	⊢ ( Base ‘ ( 𝑁 Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) = ( Base ‘ ( 𝑁 Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) )
42	1 5 39 41	cpmatel	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑁 Mat ( Poly1 ‘ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ 𝑆 ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ∀ 𝑛 ∈ ℕ ( ( coe1 ‘ ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝑗 ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
43	40 42	syld3an3	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ 𝑆 ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ∀ 𝑛 ∈ ℕ ( ( coe1 ‘ ( 𝑖 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝑗 ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
44	38 43	mpbird	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ 𝑆 )