Theorem maducoevalmin1

Description: The coefficients of an adjunct (matrix of cofactors) expressed as determinants of the minor matrices (alternative definition) of the original matrix. (Contributed by AV, 31-Dec-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	maducoevalmin1.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
	maducoevalmin1.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
	maducoevalmin1.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑁 maDet 𝑅 )
	maducoevalmin1.j	⊢ 𝐽 = ( 𝑁 maAdju 𝑅 )
Assertion	maducoevalmin1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) → ( 𝐼 ( 𝐽 ‘ 𝑀 ) 𝐻 ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝐻 ( ( 𝑁 minMatR1 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) 𝐼 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maducoevalmin1.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
2		maducoevalmin1.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
3		maducoevalmin1.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑁 maDet 𝑅 )
4		maducoevalmin1.j	⊢ 𝐽 = ( 𝑁 maAdju 𝑅 )
5		eqid	⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 )
6		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 )
7	1 3 4 2 5 6	maducoeval	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) → ( 𝐼 ( 𝐽 ‘ 𝑀 ) 𝐻 ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐻 , if ( 𝑗 = 𝐼 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) ) )
8		eqid	⊢ ( 𝑁 minMatR1 𝑅 ) = ( 𝑁 minMatR1 𝑅 )
9	1 2 8 5 6	minmar1val	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ) → ( 𝐻 ( ( 𝑁 minMatR1 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) 𝐼 ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐻 , if ( 𝑗 = 𝐼 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) )
10	9	3com23	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) → ( 𝐻 ( ( 𝑁 minMatR1 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) 𝐼 ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐻 , if ( 𝑗 = 𝐼 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) )
11	10	eqcomd	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐻 , if ( 𝑗 = 𝐼 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) = ( 𝐻 ( ( 𝑁 minMatR1 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) 𝐼 ) )
12	11	fveq2d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝐻 , if ( 𝑗 = 𝐼 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , ( 0g ‘ 𝑅 ) ) , ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝐻 ( ( 𝑁 minMatR1 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) 𝐼 ) ) )
13	7 12	eqtrd	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) → ( 𝐼 ( 𝐽 ‘ 𝑀 ) 𝐻 ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝐻 ( ( 𝑁 minMatR1 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) 𝐼 ) ) )