mapdh6lem2N

Description: Lemma for mapdh6N . Part (6) in Baer p. 47, lines 20-22. (Contributed by NM, 13-Apr-2015) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	mapdh.q	⊢ 𝑄 = ( 0_g ‘ 𝐶 )
	mapdh.i	⊢ 𝐼 = ( 𝑥 ∈ V ↦ if ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 0 , 𝑄 , ( ℩ ℎ ∈ 𝐷 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 2^nd ‘ 𝑥 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ℎ } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) − ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) 𝑅 ℎ ) } ) ) ) ) )
	mapdh.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	mapdh.m	⊢ 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	mapdh.u	⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	mapdh.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
	mapdh.s	⊢ − = ( -_g ‘ 𝑈 )
	mapdhc.o	⊢ 0 = ( 0_g ‘ 𝑈 )
	mapdh.n	⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 )
	mapdh.c	⊢ 𝐶 = ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	mapdh.d	⊢ 𝐷 = ( Base ‘ 𝐶 )
	mapdh.r	⊢ 𝑅 = ( -_g ‘ 𝐶 )
	mapdh.j	⊢ 𝐽 = ( LSpan ‘ 𝐶 )
	mapdh.k	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
	mapdhc.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷 )
	mapdh.mn	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) )
	mapdhcl.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
	mapdh.p	⊢ + = ( +_g ‘ 𝑈 )
	mapdh.a	⊢ ✚ = ( +_g ‘ 𝐶 )
	mapdhe6.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
	mapdhe6.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
	mapdhe6.xn	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑍 } ) )
	mapdh6.yz	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
	mapdh6.fg	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 ⟩ ) = 𝐺 )
	mapdh6.fe	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 ⟩ ) = 𝐸 )
Assertion	mapdh6lem2N	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 + 𝑍 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐺 ✚ 𝐸 ) } ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.q	⊢ 𝑄 = ( 0_g ‘ 𝐶 )
2		mapdh.i	⊢ 𝐼 = ( 𝑥 ∈ V ↦ if ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 0 , 𝑄 , ( ℩ ℎ ∈ 𝐷 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 2^nd ‘ 𝑥 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ℎ } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) − ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) 𝑅 ℎ ) } ) ) ) ) )
3		mapdh.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
4		mapdh.m	⊢ 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5		mapdh.u	⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
6		mapdh.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
7		mapdh.s	⊢ − = ( -_g ‘ 𝑈 )
8		mapdhc.o	⊢ 0 = ( 0_g ‘ 𝑈 )
9		mapdh.n	⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 )
10		mapdh.c	⊢ 𝐶 = ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
11		mapdh.d	⊢ 𝐷 = ( Base ‘ 𝐶 )
12		mapdh.r	⊢ 𝑅 = ( -_g ‘ 𝐶 )
13		mapdh.j	⊢ 𝐽 = ( LSpan ‘ 𝐶 )
14		mapdh.k	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
15		mapdhc.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷 )
16		mapdh.mn	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) )
17		mapdhcl.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
18		mapdh.p	⊢ + = ( +_g ‘ 𝑈 )
19		mapdh.a	⊢ ✚ = ( +_g ‘ 𝐶 )
20		mapdhe6.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
21		mapdhe6.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
22		mapdhe6.xn	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑍 } ) )
23		mapdh6.yz	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
24		mapdh6.fg	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 ⟩ ) = 𝐺 )
25		mapdh6.fe	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 ⟩ ) = 𝐸 )
26		eqid	⊢ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) = ( LSubSp ‘ 𝑈 )
27	3 5 14	dvhlmod	⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LMod )
28	20	eldifad	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉 )
29	6 26 9	lspsncl	⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
30	27 28 29	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
31	21	eldifad	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉 )
32	6 26 9	lspsncl	⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
33	27 31 32	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
34		eqid	⊢ ( LSSum ‘ 𝑈 ) = ( LSSum ‘ 𝑈 )
35	26 34	lsmcl	⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
36	27 30 33 35	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
37	17	eldifad	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 )
38	6 18	lmodvacl	⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑌 + 𝑍 ) ∈ 𝑉 )
39	27 28 31 38	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 + 𝑍 ) ∈ 𝑉 )
40	6 7	lmodvsubcl	⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) ∈ 𝑉 ) → ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∈ 𝑉 )
41	27 37 39 40	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∈ 𝑉 )
42	6 26 9	lspsncl	⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
43	27 41 42	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
44	6 26 9	lspsncl	⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
45	27 37 44	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
46	26 34	lsmcl	⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
47	27 43 45 46	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
48	3 4 5 26 14 36 47	mapdin	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ) ∩ ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ) ) )
49		eqid	⊢ ( LSSum ‘ 𝐶 ) = ( LSSum ‘ 𝐶 )
50	3 4 5 26 34 10 49 14 30 33	mapdlsm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ) )
51	3 5 14	dvhlvec	⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LVec )
52	6 8 9 51 28 21 37 23 22	lspindp2	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑍 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) )
53	52	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
54	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 28 53	mapdhcl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 ⟩ ) ∈ 𝐷 )
55	24 54	eqeltrrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷 )
56	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 55 53	mapdheq	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 ⟩ ) = 𝐺 ↔ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐺 ) } ) ) ) )
57	24 56	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐺 ) } ) ) )
58	57	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) )
59	6 8 9 51 20 31 37 23 22	lspindp1	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) )
60	59	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
61	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 31 60	mapdhcl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 ⟩ ) ∈ 𝐷 )
62	25 61	eqeltrrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐷 )
63	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 21 62 60	mapdheq	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 ⟩ ) = 𝐸 ↔ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐸 ) } ) ) ) )
64	25 63	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 𝐸 ) } ) ) )
65	64	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) )
66	58 65	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) ) )
67	50 66	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) ) )
68	3 4 5 26 34 10 49 14 43 45	mapdlsm	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ) = ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ) )
69	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25	mapdh6lem1N	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 ( 𝐺 ✚ 𝐸 ) ) } ) )
70	69 16	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 ( 𝐺 ✚ 𝐸 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) ) )
71	68 70	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 ( 𝐺 ✚ 𝐸 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) ) )
72	67 71	ineq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ) ∩ ( 𝑀 ‘ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ) ) = ( ( ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) ) ∩ ( ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 ( 𝐺 ✚ 𝐸 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) ) ) )
73	48 72	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ) ) = ( ( ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) ) ∩ ( ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 ( 𝐺 ✚ 𝐸 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) ) ) )
74	6 7 8 34 9 51 37 22 23 20 21 18	baerlem5b	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 + 𝑍 ) } ) = ( ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ) )
75	74	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 + 𝑍 ) } ) ) = ( 𝑀 ‘ ( ( ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝑈 ) ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ) ) )
76	3 10 14	lcdlvec	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ LVec )
77	3 4 5 6 9 10 11 13 14 15 16 37 28 55 58 31 62 65 22	mapdindp	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ ( 𝐽 ‘ { 𝐺 , 𝐸 } ) )
78	3 4 5 6 9 10 11 13 14 55 58 28 31 62 65 23	mapdncol	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ≠ ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) )
79	3 4 5 6 9 10 11 13 14 55 58 8 1 20	mapdn0	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ( 𝐷 ∖ { 𝑄 } ) )
80	3 4 5 6 9 10 11 13 14 62 65 8 1 21	mapdn0	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ( 𝐷 ∖ { 𝑄 } ) )
81	11 12 1 49 13 76 15 77 78 79 80 19	baerlem5b	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ‘ { ( 𝐺 ✚ 𝐸 ) } ) = ( ( ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐸 } ) ) ∩ ( ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 ( 𝐺 ✚ 𝐸 ) ) } ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) ) ) )
82	73 75 81	3eqtr4d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 + 𝑍 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐺 ✚ 𝐸 ) } ) )

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Theorem mapdh6lem2N

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