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Theorem mapdh9a

Description: Lemma for part (9) in Baer p. 48. TODO: why is this 50% larger than mapdh9aOLDN ? (Contributed by NM, 14-May-2015)

Ref Expression
Hypotheses mapdh8a.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
mapdh8a.u ⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
mapdh8a.v ⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
mapdh8a.s ⊢ − = ( -g ‘ 𝑈 )
mapdh8a.o ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑈 )
mapdh8a.n ⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 )
mapdh8a.c ⊢ 𝐶 = ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
mapdh8a.d ⊢ 𝐷 = ( Base ‘ 𝐶 )
mapdh8a.r ⊢ 𝑅 = ( -g ‘ 𝐶 )
mapdh8a.q ⊢ 𝑄 = ( 0g ‘ 𝐶 )
mapdh8a.j ⊢ 𝐽 = ( LSpan ‘ 𝐶 )
mapdh8a.m ⊢ 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
mapdh8a.i ⊢ 𝐼 = ( 𝑥 ∈ V ↦ if ( ( 2nd ‘ 𝑥 ) = 0 , 𝑄 , ( ℩ ℎ ∈ 𝐷 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 2nd ‘ 𝑥 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ℎ } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( ( 1st ‘ ( 1st ‘ 𝑥 ) ) − ( 2nd ‘ 𝑥 ) ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( ( 2nd ‘ ( 1st ‘ 𝑥 ) ) 𝑅 ℎ ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
mapdh8h.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷 )
mapdh8h.mn ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) )
mapdh9a.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
mapdh9a.t ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉 )
Assertion mapdh9a ( 𝜑 → ∃! 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mapdh8a.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2 mapdh8a.u ⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3 mapdh8a.v ⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
4 mapdh8a.s ⊢ − = ( -g ‘ 𝑈 )
5 mapdh8a.o ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑈 )
6 mapdh8a.n ⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 )
7 mapdh8a.c ⊢ 𝐶 = ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 mapdh8a.d ⊢ 𝐷 = ( Base ‘ 𝐶 )
9 mapdh8a.r ⊢ 𝑅 = ( -g ‘ 𝐶 )
10 mapdh8a.q ⊢ 𝑄 = ( 0g ‘ 𝐶 )
11 mapdh8a.j ⊢ 𝐽 = ( LSpan ‘ 𝐶 )
12 mapdh8a.m ⊢ 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
13 mapdh8a.i ⊢ 𝐼 = ( 𝑥 ∈ V ↦ if ( ( 2nd ‘ 𝑥 ) = 0 , 𝑄 , ( ℩ ℎ ∈ 𝐷 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 2nd ‘ 𝑥 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ℎ } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( ( 1st ‘ ( 1st ‘ 𝑥 ) ) − ( 2nd ‘ 𝑥 ) ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( ( 2nd ‘ ( 1st ‘ 𝑥 ) ) 𝑅 ℎ ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
15 mapdh8h.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷 )
16 mapdh8h.mn ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) )
17 mapdh9a.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
18 mapdh9a.t ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉 )
19 14 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
20 15 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝐷 )
21 16 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) )
22 17 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
23 simp3ll ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
24 simp3rl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
25 simplrl ⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
26 25 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
27 26 necomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) )
28 simprrl ⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
29 28 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
30 29 necomd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) )
31 simplrr ⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) )
32 31 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) )
33 simprrr ⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) )
34 33 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) )
35 18 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝑉 )
36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 19 20 21 22 23 24 27 30 32 34 35 mapdh8 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑤 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) )
37 36 3exp ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ) → ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑤 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) ) )
38 37 ralrimivv ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑤 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) )
39 17 eldifad ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 )
40 1 2 3 6 14 39 18 dvh3dim ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) )
41 eqid ⊢ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) = ( LSubSp ‘ 𝑈 )
42 1 2 14 dvhlmod ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LMod )
43 42 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → 𝑈 ∈ LMod )
44 3 41 6 42 39 18 lspprcl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
45 44 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
46 simplr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → 𝑧 ∈ 𝑉 )
47 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) )
48 5 41 43 45 46 47 lssneln0 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
49 1 2 14 dvhlvec ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LVec )
50 49 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → 𝑈 ∈ LVec )
51 39 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → 𝑋 ∈ 𝑉 )
52 18 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → 𝑇 ∈ 𝑉 )
53 3 6 50 46 51 52 47 lspindpi ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) )
54 48 53 jca ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) )
55 54 ex ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) )
56 55 reximdva ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) )
57 40 56 mpd ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) )
58 14 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
59 15 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝐷 )
60 16 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) )
61 17 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
62 simplr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑉 )
63 simprrl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
64 63 necomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) )
65 10 13 1 12 2 3 4 5 6 7 8 9 11 58 59 60 61 62 64 mapdhcl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) ∈ 𝐷 )
66 eqidd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) )
67 simprl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
68 10 13 1 12 2 3 4 5 6 7 8 9 11 58 59 60 61 67 65 64 mapdheq ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) ↔ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑧 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) ) } ) ) ) )
69 66 68 mpbid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑧 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐹 𝑅 ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) ) } ) ) )
70 69 simpld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) } ) )
71 18 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝑉 )
72 simprrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) )
73 10 13 1 12 2 3 4 5 6 7 8 9 11 58 65 70 67 71 72 mapdhcl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ∈ 𝐷 )
74 73 ex ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ∈ 𝐷 ) )
75 74 ancld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ∈ 𝐷 ) ) )
76 75 reximdva ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ∈ 𝐷 ) ) )
77 57 76 mpd ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ∈ 𝐷 ) )
78 eleq1w ⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ↔ 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) )
79 sneq ⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → { 𝑧 } = { 𝑤 } )
80 79 fveq2d ⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) )
81 80 neeq1d ⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ↔ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) )
82 80 neeq1d ⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ↔ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) )
83 81 82 anbi12d ⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ↔ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) )
84 78 83 anbi12d ⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ↔ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) )
85 oteq1 ⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ = ⟨ 𝑤 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ )
86 oteq3 ⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ = ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 ⟩ )
87 86 fveq2d ⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 ⟩ ) )
88 87 oteq2d ⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ⟨ 𝑤 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ = ⟨ 𝑤 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ )
89 85 88 eqtrd ⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ = ⟨ 𝑤 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ )
90 89 fveq2d ⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑤 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) )
91 84 90 reusv3 ⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ∈ 𝐷 ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑤 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) ) )
92 77 91 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ∀ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ∧ ( 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑤 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) ) )
93 38 92 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) )
94 ioran ⊢ ( ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∨ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ↔ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) )
95 elun ⊢ ( 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∨ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) )
96 94 95 xchnxbir ⊢ ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ↔ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) )
97 42 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑈 ∈ LMod )
98 3 41 6 lspsncl ⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
99 42 39 98 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
100 99 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
101 simplr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑉 )
102 simprl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
103 5 41 97 100 101 102 lssneln0 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
104 103 ex ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) )
105 42 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) → 𝑈 ∈ LMod )
106 simplr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) → 𝑧 ∈ 𝑉 )
107 39 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) → 𝑋 ∈ 𝑉 )
108 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) → ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
109 3 6 105 106 107 108 lspsnne2 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
110 109 ex ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) )
111 42 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑈 ∈ LMod )
112 simplr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑧 ∈ 𝑉 )
113 18 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑇 ∈ 𝑉 )
114 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) )
115 3 6 111 112 113 114 lspsnne2 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) )
116 115 ex ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) )
117 110 116 anim12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) )
118 104 117 jcad ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) )
119 96 118 biimtrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) ) )
120 119 imim1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) → ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) ) )
121 120 ralimdva ⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) ) )
122 121 reximdv ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ( 𝑧 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑧 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) ) )
123 93 122 mpd ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) )
124 3 6 42 39 18 lspprid1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) )
125 41 6 42 44 124 ellspsn5 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) )
126 3 6 42 39 18 lspprid2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) )
127 41 6 42 44 126 ellspsn5 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) )
128 125 127 unssd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) )
129 128 ssneld ⊢ ( 𝜑 → ( ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) → ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) )
130 129 reximdv ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑇 } ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) ) )
131 40 130 mpd ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) )
132 reusv1 ⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) ) )
133 131 132 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ∃! 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) ) )
134 123 133 mpbird ⊢ ( 𝜑 → ∃! 𝑦 ∈ 𝐷 ∀ 𝑧 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑧 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∪ ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) ) → 𝑦 = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑧 , ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑧 ⟩ ) , 𝑇 ⟩ ) ) )