Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
matsc.a |
⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 ) |
2 |
|
matsc.k |
⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
3 |
|
matsc.m |
⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝐴 ) |
4 |
|
matsc.z |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 ) |
5 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → 𝐿 ∈ 𝐾 ) |
6 |
|
3simpa |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ) |
7 |
1
|
matring |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝐴 ∈ Ring ) |
8 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐴 ) = ( Base ‘ 𝐴 ) |
9 |
|
eqid |
⊢ ( 1r ‘ 𝐴 ) = ( 1r ‘ 𝐴 ) |
10 |
8 9
|
ringidcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ Ring → ( 1r ‘ 𝐴 ) ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) |
11 |
6 7 10
|
3syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → ( 1r ‘ 𝐴 ) ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) |
12 |
|
eqid |
⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 ) |
13 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑁 × 𝑁 ) = ( 𝑁 × 𝑁 ) |
14 |
1 8 2 3 12 13
|
matvsca2 |
⊢ ( ( 𝐿 ∈ 𝐾 ∧ ( 1r ‘ 𝐴 ) ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐿 · ( 1r ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝐿 } ) ∘f ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) |
15 |
5 11 14
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → ( 𝐿 · ( 1r ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝐿 } ) ∘f ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝐴 ) ) ) |
16 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
17 |
|
simp13 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) → 𝐿 ∈ 𝐾 ) |
18 |
|
fvex |
⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ V |
19 |
4
|
fvexi |
⊢ 0 ∈ V |
20 |
18 19
|
ifex |
⊢ if ( 𝑖 = 𝑗 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , 0 ) ∈ V |
21 |
20
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) → if ( 𝑖 = 𝑗 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , 0 ) ∈ V ) |
22 |
|
fconstmpo |
⊢ ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝐿 } ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐿 ) |
23 |
22
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝐿 } ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐿 ) ) |
24 |
|
eqid |
⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) |
25 |
1 24 4
|
mat1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 1r ‘ 𝐴 ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝑗 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , 0 ) ) ) |
26 |
25
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → ( 1r ‘ 𝐴 ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝑗 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , 0 ) ) ) |
27 |
16 16 17 21 23 26
|
offval22 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝐿 } ) ∘f ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝐿 ( .r ‘ 𝑅 ) if ( 𝑖 = 𝑗 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , 0 ) ) ) ) |
28 |
|
ovif2 |
⊢ ( 𝐿 ( .r ‘ 𝑅 ) if ( 𝑖 = 𝑗 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , 0 ) ) = if ( 𝑖 = 𝑗 , ( 𝐿 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) , ( 𝐿 ( .r ‘ 𝑅 ) 0 ) ) |
29 |
2 12 24
|
ringridm |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → ( 𝐿 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) = 𝐿 ) |
30 |
29
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → ( 𝐿 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) = 𝐿 ) |
31 |
2 12 4
|
ringrz |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → ( 𝐿 ( .r ‘ 𝑅 ) 0 ) = 0 ) |
32 |
31
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → ( 𝐿 ( .r ‘ 𝑅 ) 0 ) = 0 ) |
33 |
30 32
|
ifeq12d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → if ( 𝑖 = 𝑗 , ( 𝐿 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 1r ‘ 𝑅 ) ) , ( 𝐿 ( .r ‘ 𝑅 ) 0 ) ) = if ( 𝑖 = 𝑗 , 𝐿 , 0 ) ) |
34 |
28 33
|
eqtrid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → ( 𝐿 ( .r ‘ 𝑅 ) if ( 𝑖 = 𝑗 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , 0 ) ) = if ( 𝑖 = 𝑗 , 𝐿 , 0 ) ) |
35 |
34
|
mpoeq3dv |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝐿 ( .r ‘ 𝑅 ) if ( 𝑖 = 𝑗 , ( 1r ‘ 𝑅 ) , 0 ) ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝑗 , 𝐿 , 0 ) ) ) |
36 |
15 27 35
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾 ) → ( 𝐿 · ( 1r ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝑗 , 𝐿 , 0 ) ) ) |