Theorem matvscacell

Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	matplusgcell.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
	matplusgcell.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
	matvscacell.k	⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 )
	matvscacell.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝐴 )
	matvscacell.t	⊢ × = ( .r ‘ 𝑅 )
Assertion	matvscacell	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ( 𝑋 · 𝑌 ) 𝐽 ) = ( 𝑋 × ( 𝐼 𝑌 𝐽 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusgcell.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
2		matplusgcell.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
3		matvscacell.k	⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 )
4		matvscacell.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝐴 )
5		matvscacell.t	⊢ × = ( .r ‘ 𝑅 )
6		eqid	⊢ ( 𝑁 × 𝑁 ) = ( 𝑁 × 𝑁 )
7	1 2 3 4 5 6	matvsca2	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · 𝑌 ) = ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) )
8	7	oveqd	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐼 ( 𝑋 · 𝑌 ) 𝐽 ) = ( 𝐼 ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) 𝐽 ) )
9	8	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ( 𝑋 · 𝑌 ) 𝐽 ) = ( 𝐼 ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) 𝐽 ) )
10		df-ov	⊢ ( 𝐼 ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) 𝐽 ) = ( ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) ‘ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ )
11	10	a1i	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) 𝐽 ) = ( ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) ‘ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ) )
12		opelxpi	⊢ ( ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
13	12	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
14	1 2	matrcl	⊢ ( 𝑌 ∈ 𝐵 → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V ) )
15	14	simpld	⊢ ( 𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin )
16	15	adantl	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑁 ∈ Fin )
17	16	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ Fin )
18		xpfi	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ) → ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ Fin )
19	17 17 18	syl2anc	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ Fin )
20		simp2l	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐾 )
21	2	eleq2i	⊢ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) )
22	21	bilani	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) )
23	22	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐴 ) )
24		simp1	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
25		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
26	1 25	matbas2	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) = ( Base ‘ 𝐴 ) )
27	17 24 26	syl2anc	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) = ( Base ‘ 𝐴 ) )
28	23 27	eleqtrrd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑌 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) )
29		elmapfn	⊢ ( 𝑌 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → 𝑌 Fn ( 𝑁 × 𝑁 ) )
30	28 29	syl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑌 Fn ( 𝑁 × 𝑁 ) )
31		df-ov	⊢ ( 𝐼 𝑌 𝐽 ) = ( 𝑌 ‘ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ )
32	31	eqcomi	⊢ ( 𝑌 ‘ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ) = ( 𝐼 𝑌 𝐽 )
33	32	a1i	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) ∧ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → ( 𝑌 ‘ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ) = ( 𝐼 𝑌 𝐽 ) )
34	19 20 30 33	ofc1	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) ∧ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → ( ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) ‘ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ) = ( 𝑋 × ( 𝐼 𝑌 𝐽 ) ) )
35	13 34	mpdan	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) × { 𝑋 } ) ∘f × 𝑌 ) ‘ ⟨ 𝐼 , 𝐽 ⟩ ) = ( 𝑋 × ( 𝐼 𝑌 𝐽 ) ) )
36	9 11 35	3eqtrd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ( 𝑋 · 𝑌 ) 𝐽 ) = ( 𝑋 × ( 𝐼 𝑌 𝐽 ) ) )