Theorem mdettpos

Description: Determinant is invariant under transposition. Proposition 4.8 in Lang p. 514. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	mdettpos.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑁 maDet 𝑅 )
	mdettpos.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
	mdettpos.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
Assertion	mdettpos	⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐷 ‘ tpos 𝑀 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑀 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdettpos.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑁 maDet 𝑅 )
2		mdettpos.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
3		mdettpos.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
4		ovtpos	⊢ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) = ( 𝑥 𝑀 ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) )
5	4	mpteq2i	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑥 𝑀 ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) ) )
6	5	oveq2i	⊢ ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑥 𝑀 ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) ) ) )
7	6	oveq2i	⊢ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑥 𝑀 ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) ) ) ) )
8	7	mpteq2i	⊢ ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑥 𝑀 ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) )
9	8	oveq2i	⊢ ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑥 𝑀 ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
10	2 3	mattposcl	⊢ ( 𝑀 ∈ 𝐵 → tpos 𝑀 ∈ 𝐵 )
11	10	adantl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → tpos 𝑀 ∈ 𝐵 )
12		eqid	⊢ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) )
13		eqid	⊢ ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) = ( ℤRHom ‘ 𝑅 )
14		eqid	⊢ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) = ( pmSgn ‘ 𝑁 )
15		eqid	⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 )
16		eqid	⊢ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) = ( mulGrp ‘ 𝑅 )
17	1 2 3 12 13 14 15 16	mdetleib	⊢ ( tpos 𝑀 ∈ 𝐵 → ( 𝐷 ‘ tpos 𝑀 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
18	11 17	syl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐷 ‘ tpos 𝑀 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) tpos 𝑀 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
19	1 2 3 12 13 14 15 16	mdetleib2	⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑀 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑥 𝑀 ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) )
20	9 18 19	3eqtr4a	⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐷 ‘ tpos 𝑀 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑀 ) )