mdetunilem9

	Ref	Expression
Hypotheses	mdetuni.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
	mdetuni.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
	mdetuni.k	⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 )
	mdetuni.0g	⊢ 0 = ( 0_g ‘ 𝑅 )
	mdetuni.1r	⊢ 1 = ( 1_r ‘ 𝑅 )
	mdetuni.pg	⊢ + = ( +_g ‘ 𝑅 )
	mdetuni.tg	⊢ · = ( ._r ‘ 𝑅 )
	mdetuni.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ Fin )
	mdetuni.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
	mdetuni.ff	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 : 𝐵 ⟶ 𝐾 )
	mdetuni.al	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝑁 ∀ 𝑧 ∈ 𝑁 ( ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( 𝑦 𝑥 𝑤 ) = ( 𝑧 𝑥 𝑤 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = 0 ) )
	mdetuni.li	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) )
	mdetuni.sc	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) )
	mdetunilem9.id	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ ( 1_r ‘ 𝐴 ) ) = 0 )
	mdetunilem9.y	⊢ 𝑌 = { 𝑥 ∣ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) }
Assertion	mdetunilem9	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = ( 𝐵 × { 0 } ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetuni.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
2		mdetuni.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
3		mdetuni.k	⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 )
4		mdetuni.0g	⊢ 0 = ( 0_g ‘ 𝑅 )
5		mdetuni.1r	⊢ 1 = ( 1_r ‘ 𝑅 )
6		mdetuni.pg	⊢ + = ( +_g ‘ 𝑅 )
7		mdetuni.tg	⊢ · = ( ._r ‘ 𝑅 )
8		mdetuni.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ Fin )
9		mdetuni.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
10		mdetuni.ff	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 : 𝐵 ⟶ 𝐾 )
11		mdetuni.al	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝑁 ∀ 𝑧 ∈ 𝑁 ( ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( 𝑦 𝑥 𝑤 ) = ( 𝑧 𝑥 𝑤 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = 0 ) )
12		mdetuni.li	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) )
13		mdetuni.sc	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) )
14		mdetunilem9.id	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ ( 1_r ‘ 𝐴 ) ) = 0 )
15		mdetunilem9.y	⊢ 𝑌 = { 𝑥 ∣ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) }
16		ral0	⊢ ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( I ↾ 𝑁 ) , 1 , 0 )
17		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → 𝑎 ∈ 𝐵 )
18		f1oi	⊢ ( I ↾ 𝑁 ) : 𝑁 –1-1-onto→ 𝑁
19		f1of	⊢ ( ( I ↾ 𝑁 ) : 𝑁 –1-1-onto→ 𝑁 → ( I ↾ 𝑁 ) : 𝑁 ⟶ 𝑁 )
20	18 19	mp1i	⊢ ( 𝜑 → ( I ↾ 𝑁 ) : 𝑁 ⟶ 𝑁 )
21	8 8	elmapd	⊢ ( 𝜑 → ( ( I ↾ 𝑁 ) ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ↔ ( I ↾ 𝑁 ) : 𝑁 ⟶ 𝑁 ) )
22	20 21	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( I ↾ 𝑁 ) ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) )
23	22	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( I ↾ 𝑁 ) ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) )
24		simplrl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
25	1 3 2	matbas2i	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) )
26		elmapi	⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → 𝑦 : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 )
27	25 26	syl	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 )
28	27	feqmptd	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 = ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) ) )
29	28	fveq2d	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) ) ) )
30	24 29	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) ) ) )
31		eqid	⊢ ( 𝑁 × 𝑁 ) = ( 𝑁 × 𝑁 )
32		mpteq12	⊢ ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) = ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) → ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) ) = ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) )
33	32	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝑁 × 𝑁 ) = ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) ) )
34	31 33	mpan	⊢ ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) ) )
35	34	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) ) )
36		eleq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) )
37	36	anbi2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ) )
38		elequ2	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑤 ∈ 𝑎 ↔ 𝑤 ∈ 𝑧 ) )
39	38	ifbid	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → if ( 𝑤 ∈ 𝑎 , 1 , 0 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) )
40	39	mpteq2dv	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑎 , 1 , 0 ) ) = ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) )
41	40	fveq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑎 , 1 , 0 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) ) )
42	41	eqeq1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑎 , 1 , 0 ) ) ) = 0 ↔ ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) ) = 0 ) )
43	37 42	imbi12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑎 , 1 , 0 ) ) ) = 0 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) ) = 0 ) ) )
44		eleq1	⊢ ( 𝑤 = ⟨ 𝑏 , 𝑐 ⟩ → ( 𝑤 ∈ 𝑎 ↔ ⟨ 𝑏 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝑎 ) )
45	44	ifbid	⊢ ( 𝑤 = ⟨ 𝑏 , 𝑐 ⟩ → if ( 𝑤 ∈ 𝑎 , 1 , 0 ) = if ( ⟨ 𝑏 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝑎 , 1 , 0 ) )
46	45	mpompt	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑎 , 1 , 0 ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝑁 , 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if ( ⟨ 𝑏 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝑎 , 1 , 0 ) )
47		elmapi	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) → 𝑎 : 𝑁 ⟶ 𝑁 )
48	47	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → 𝑎 : 𝑁 ⟶ 𝑁 )
49	48	ffnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → 𝑎 Fn 𝑁 )
50	49	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ) → 𝑎 Fn 𝑁 )
51		simp2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ) → 𝑏 ∈ 𝑁 )
52		fnopfvb	⊢ ( ( 𝑎 Fn 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑏 ) = 𝑐 ↔ ⟨ 𝑏 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝑎 ) )
53	50 51 52	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑏 ) = 𝑐 ↔ ⟨ 𝑏 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝑎 ) )
54	53	bicomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ) → ( ⟨ 𝑏 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝑎 ↔ ( 𝑎 ‘ 𝑏 ) = 𝑐 ) )
55	54	ifbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ) → if ( ⟨ 𝑏 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝑎 , 1 , 0 ) = if ( ( 𝑎 ‘ 𝑏 ) = 𝑐 , 1 , 0 ) )
56	55	mpoeq3dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( 𝑏 ∈ 𝑁 , 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if ( ⟨ 𝑏 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝑎 , 1 , 0 ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝑁 , 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if ( ( 𝑎 ‘ 𝑏 ) = 𝑐 , 1 , 0 ) ) )
57	46 56	eqtrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑎 , 1 , 0 ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝑁 , 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if ( ( 𝑎 ‘ 𝑏 ) = 𝑐 , 1 , 0 ) ) )
58	57	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑎 , 1 , 0 ) ) ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑏 ∈ 𝑁 , 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if ( ( 𝑎 ‘ 𝑏 ) = 𝑐 , 1 , 0 ) ) ) )
59	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14	mdetunilem8	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 : 𝑁 ⟶ 𝑁 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑏 ∈ 𝑁 , 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if ( ( 𝑎 ‘ 𝑏 ) = 𝑐 , 1 , 0 ) ) ) = 0 )
60	47 59	sylan2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑏 ∈ 𝑁 , 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if ( ( 𝑎 ‘ 𝑏 ) = 𝑐 , 1 , 0 ) ) ) = 0 )
61	58 60	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑎 , 1 , 0 ) ) ) = 0 )
62	43 61	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) ) = 0 )
63	62	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) ) = 0 )
64	63	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) ) = 0 )
65	30 35 64	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 )
66	65	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) )
67	66	ralrimivva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) )
68		xpfi	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ) → ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ Fin )
69	8 8 68	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ Fin )
70		raleq	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) )
71	70	imbi1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) )
72	71	2ralbidv	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) )
73	72 15	elab2g	⊢ ( ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ Fin → ( ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ 𝑌 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) )
74	69 73	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ 𝑌 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) )
75	67 74	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ 𝑌 )
76		ssid	⊢ ( 𝑁 × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 )
77	69	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ Fin )
78		sseq1	⊢ ( 𝑎 = ∅ → ( 𝑎 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↔ ∅ ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) )
79	78	3anbi2d	⊢ ( 𝑎 = ∅ → ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∅ ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) ) )
80		eleq1	⊢ ( 𝑎 = ∅ → ( 𝑎 ∈ 𝑌 ↔ ∅ ∈ 𝑌 ) )
81	80	notbid	⊢ ( 𝑎 = ∅ → ( ¬ 𝑎 ∈ 𝑌 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) )
82	79 81	imbi12d	⊢ ( 𝑎 = ∅ → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑌 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∅ ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) ) )
83		sseq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑏 → ( 𝑎 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↔ 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) )
84	83	3anbi2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑏 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) ) )
85		eleq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑏 → ( 𝑎 ∈ 𝑌 ↔ 𝑏 ∈ 𝑌 ) )
86	85	notbid	⊢ ( 𝑎 = 𝑏 → ( ¬ 𝑎 ∈ 𝑌 ↔ ¬ 𝑏 ∈ 𝑌 ) )
87	84 86	imbi12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑏 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑌 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ 𝑏 ∈ 𝑌 ) ) )
88		sseq1	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) → ( 𝑎 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↔ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) )
89	88	3anbi2d	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) ) )
90		eleq1	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) → ( 𝑎 ∈ 𝑌 ↔ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) )
91	90	notbid	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) → ( ¬ 𝑎 ∈ 𝑌 ↔ ¬ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) )
92	89 91	imbi12d	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑌 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ) )
93		sseq1	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( 𝑎 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↔ ( 𝑁 × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) )
94	93	3anbi2d	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) ) )
95		eleq1	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( 𝑎 ∈ 𝑌 ↔ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ 𝑌 ) )
96	95	notbid	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ¬ 𝑎 ∈ 𝑌 ↔ ¬ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ 𝑌 ) )
97	94 96	imbi12d	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ 𝑎 ∈ 𝑌 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ 𝑌 ) ) )
98		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∅ ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ ∅ ∈ 𝑌 )
99		ssun1	⊢ 𝑏 ⊆ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } )
100		sstr2	⊢ ( 𝑏 ⊆ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) → ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) → 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) )
101	99 100	ax-mp	⊢ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) → 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
102	101	3anim2i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) )
103	102	imim1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ 𝑏 ∈ 𝑌 ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ 𝑏 ∈ 𝑌 ) )
104		simpl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → 𝜑 )
105		simpl2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
106		simprll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → 𝑎 ∈ 𝐵 )
107	1 3 2	matbas2i	⊢ ( 𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) )
108		elmapi	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → 𝑎 : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 )
109	107 108	syl	⊢ ( 𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 )
110	109	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → 𝑎 : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 )
111	110	feqmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → 𝑎 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) )
112	111	reseq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑎 ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) )
113	9	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ Ring )
114		ringgrp	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp )
115	113 114	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ Grp )
116	115	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → 𝑅 ∈ Grp )
117	110	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → 𝑎 : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 )
118		simp2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
119	118	unssbd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → { 𝑐 } ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
120		vex	⊢ 𝑐 ∈ V
121	120	snss	⊢ ( 𝑐 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↔ { 𝑐 } ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
122	119 121	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → 𝑐 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
123		xp1st	⊢ ( 𝑐 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( 1^st ‘ 𝑐 ) ∈ 𝑁 )
124	122 123	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 1^st ‘ 𝑐 ) ∈ 𝑁 )
125	124	snssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ⊆ 𝑁 )
126		xpss1	⊢ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ⊆ 𝑁 → ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
127	125 126	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
128	127	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
129	117 128	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ∈ 𝐾 )
130	3 5	ringidcl	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐾 )
131	113 130	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ 𝐾 )
132	3 4	ring0cl	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾 )
133	113 132	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → 0 ∈ 𝐾 )
134	131 133	ifcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ∈ 𝐾 )
135	134	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ∈ 𝐾 )
136		eqid	⊢ ( -_g ‘ 𝑅 ) = ( -_g ‘ 𝑅 )
137	3 6 136	grpnpcan	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ∈ 𝐾 ∧ if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ∈ 𝐾 ) → ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) + if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) = ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) )
138	116 129 135 137	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) + if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) = ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) )
139	138	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) + if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
140	139	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 = 𝑐 ) → ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) + if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
141		iftrue	⊢ ( 𝑒 = 𝑐 → if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) = ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
142		iftrue	⊢ ( 𝑒 = 𝑐 → if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
143	141 142	oveq12d	⊢ ( 𝑒 = 𝑐 → ( if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) + if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) + if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
144	143	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 = 𝑐 ) → ( if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) + if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) + if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
145	140 144	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 = 𝑐 ) → ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) = ( if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) + if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
146	3 6 4	grplid	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ∈ 𝐾 ) → ( 0 + ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) )
147	116 129 146	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → ( 0 + ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) )
148	147	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) = ( 0 + ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) )
149	148	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝑒 = 𝑐 ) → ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) = ( 0 + ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) )
150		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑒 = 𝑐 → if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) = 0 )
151		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑒 = 𝑐 → if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) )
152	150 151	oveq12d	⊢ ( ¬ 𝑒 = 𝑐 → ( if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) + if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) = ( 0 + ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) )
153	152	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝑒 = 𝑐 ) → ( if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) + if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) = ( 0 + ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) )
154	149 153	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝑒 = 𝑐 ) → ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) = ( if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) + if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
155	145 154	pm2.61dan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) = ( if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) + if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
156	155	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ ( if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) + if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) )
157		snfi	⊢ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ∈ Fin
158	8	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → 𝑁 ∈ Fin )
159		xpfi	⊢ ( ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ) → ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ∈ Fin )
160	157 158 159	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ∈ Fin )
161		ovex	⊢ ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ∈ V
162	4	fvexi	⊢ 0 ∈ V
163	161 162	ifex	⊢ if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) ∈ V
164	163	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) ∈ V )
165	5	fvexi	⊢ 1 ∈ V
166	165 162	ifex	⊢ if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ∈ V
167		fvex	⊢ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ∈ V
168	166 167	ifex	⊢ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ∈ V
169	168	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ∈ V )
170		xp1st	⊢ ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) → ( 1^st ‘ 𝑒 ) ∈ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } )
171		elsni	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) ∈ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } → ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) )
172		iftrue	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) )
173	170 171 172	3syl	⊢ ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) )
174	173	mpteq2ia	⊢ ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) = ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) )
175	174	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) = ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) ) )
176		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) = ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
177	160 164 169 175 176	offval2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∘_f + ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ ( if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) + if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) )
178	156 177	eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∘_f + ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) )
179	127	resmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) )
180	127	resmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
181	127	resmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
182	180 181	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∘_f + ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) )
183	178 179 182	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) )
184	112 183	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑎 ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) )
185	111	reseq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) )
186		xp1st	⊢ ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) → ( 1^st ‘ 𝑒 ) ∈ ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) )
187		eldifsni	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) ∈ ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) → ( 1^st ‘ 𝑒 ) ≠ ( 1^st ‘ 𝑐 ) )
188	186 187	syl	⊢ ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) → ( 1^st ‘ 𝑒 ) ≠ ( 1^st ‘ 𝑐 ) )
189	188	neneqd	⊢ ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) → ¬ ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) )
190	189	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) → ¬ ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) )
191	190	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) )
192	191	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) = ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) )
193		difss	⊢ ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ⊆ 𝑁
194		xpss1	⊢ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ⊆ 𝑁 → ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
195	193 194	ax-mp	⊢ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 )
196		resmpt	⊢ ( ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
197	195 196	mp1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
198		resmpt	⊢ ( ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) )
199	195 198	mp1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) )
200	192 197 199	3eqtr4rd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) )
201	185 200	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) )
202		fveq2	⊢ ( 𝑒 = 𝑐 → ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) )
203	190 202	nsyl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) → ¬ 𝑒 = 𝑐 )
204	203	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) → if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) )
205	204	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) = ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) )
206		resmpt	⊢ ( ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
207	195 206	mp1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
208	205 207 199	3eqtr4rd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) )
209	185 208	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) )
210	134	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ∈ 𝐾 )
211	110	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ∈ 𝐾 )
212	210 211	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ∈ 𝐾 )
213	212	fmpttd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 )
214	3	fvexi	⊢ 𝐾 ∈ V
215	68	anidms	⊢ ( 𝑁 ∈ Fin → ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ Fin )
216	158 215	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ Fin )
217		elmapg	⊢ ( ( 𝐾 ∈ V ∧ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 ) )
218	214 216 217	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 ) )
219	213 218	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) )
220	1 3	matbas2	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) = ( Base ‘ 𝐴 ) )
221	158 113 220	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) = ( Base ‘ 𝐴 ) )
222	221 2	eqtr4di	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) = 𝐵 )
223	219 222	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ 𝐵 )
224		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → 𝑎 ∈ 𝐵 )
225	115	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → 𝑅 ∈ Grp )
226	3 136	grpsubcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ∈ 𝐾 ∧ if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ∈ 𝐾 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ∈ 𝐾 )
227	225 211 210 226	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ∈ 𝐾 )
228	133	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → 0 ∈ 𝐾 )
229	227 228	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) ∈ 𝐾 )
230	229 211	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ∈ 𝐾 )
231	230	fmpttd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 )
232		elmapg	⊢ ( ( 𝐾 ∈ V ∧ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 ) )
233	214 216 232	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 ) )
234	231 233	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) )
235	234 222	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ 𝐵 )
236	12	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) )
237		reseq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) )
238	237	eqeq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ↔ ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ) )
239		reseq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) )
240	239	eqeq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) )
241	239	eqeq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) )
242	238 240 241	3anbi123d	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ) )
243		fveqeq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) )
244	242 243	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
245	244	2ralbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
246		reseq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) )
247	246	oveq1d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) )
248	247	eqeq2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ↔ ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ) )
249		reseq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) )
250	249	eqeq2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) )
251	248 250	3anbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ) )
252		fveq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) )
253	252	oveq1d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) )
254	253	eqeq2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) )
255	251 254	imbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
256	255	2ralbidv	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
257	245 256	rspc2va	⊢ ( ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) )
258	224 235 236 257	syl21anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) )
259		reseq1	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) )
260	259	oveq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) )
261	260	eqeq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ↔ ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ) )
262		reseq1	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) )
263	262	eqeq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) )
264	261 263	3anbi13d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ) )
265		fveq2	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) )
266	265	oveq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) )
267	266	eqeq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) ) )
268	264 267	imbi12d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) ) ) )
269		sneq	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → { 𝑤 } = { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } )
270	269	xpeq1d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( { 𝑤 } × 𝑁 ) = ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) )
271	270	reseq2d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( 𝑎 ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) )
272	270	reseq2d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) )
273	270	reseq2d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) )
274	272 273	oveq12d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) )
275	271 274	eqeq12d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ↔ ( 𝑎 ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) ) )
276	269	difeq2d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) = ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) )
277	276	xpeq1d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) = ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) )
278	277	reseq2d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) )
279	277	reseq2d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) )
280	278 279	eqeq12d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ) )
281	277	reseq2d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) )
282	278 281	eqeq12d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ) )
283	275 280 282	3anbi123d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝑎 ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ) ) )
284	283	imbi1d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑎 ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) ) ) )
285	268 284	rspc2va	⊢ ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( 1^st ‘ 𝑐 ) ∈ 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑎 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑎 ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) ) )
286	223 124 258 285	syl21anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑎 ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∘_f + ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑎 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) ) )
287	184 201 209 286	mp3and	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) )
288	104 105 106 287	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) )
289		fveq2	⊢ ( 𝑒 = 𝑐 → ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) = ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) )
290		elequ1	⊢ ( 𝑒 = 𝑐 → ( 𝑒 ∈ 𝑑 ↔ 𝑐 ∈ 𝑑 ) )
291	290	ifbid	⊢ ( 𝑒 = 𝑐 → if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) = if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
292	289 291	oveq12d	⊢ ( 𝑒 = 𝑐 → ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) = ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
293	292	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 = 𝑐 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) = ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
294	110 122	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ∈ 𝐾 )
295	131 133	ifcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ∈ 𝐾 )
296	3 136	grpsubcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ∈ 𝐾 ∧ if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ∈ 𝐾 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ∈ 𝐾 )
297	115 294 295 296	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ∈ 𝐾 )
298	3 7 5	ringridm	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ∈ 𝐾 ) → ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 1 ) = ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
299	113 297 298	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 1 ) = ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
300	299	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 = 𝑐 ) → ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 1 ) = ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
301	293 300	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 = 𝑐 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 1 ) )
302	141	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 = 𝑐 ) → if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) = ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
303		iftrue	⊢ ( 𝑒 = 𝑐 → if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) = 1 )
304	303	oveq2d	⊢ ( 𝑒 = 𝑐 → ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 1 ) )
305	304	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 = 𝑐 ) → ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 1 ) )
306	301 302 305	3eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ 𝑒 = 𝑐 ) → if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) ) )
307	3 7 4	ringrz	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ∈ 𝐾 ) → ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 0 ) = 0 )
308	113 297 307	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 0 ) = 0 )
309	308	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → 0 = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 0 ) )
310	309	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝑒 = 𝑐 ) → 0 = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 0 ) )
311	150	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝑒 = 𝑐 ) → if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) = 0 )
312		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑒 = 𝑐 → if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) = 0 )
313	312	oveq2d	⊢ ( ¬ 𝑒 = 𝑐 → ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 0 ) )
314	313	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝑒 = 𝑐 ) → ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 0 ) )
315	310 311 314	3eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝑒 = 𝑐 ) → if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) ) )
316	306 315	pm2.61dan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) ) )
317	170	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑒 ) ∈ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } )
318	317 171	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) )
319	318	iftrued	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) )
320	318	iftrued	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) )
321	320	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) ) )
322	316 319 321	3eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
323	322	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) = ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) )
324		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ∈ V )
325	165 162	ifex	⊢ if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) ∈ V
326	325 167	ifex	⊢ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ∈ V
327	326	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ∈ V )
328		fconstmpt	⊢ ( ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) = ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
329	328	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) = ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) )
330	127	resmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
331	160 324 327 329 330	offval2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) = ( 𝑒 ∈ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ↦ ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) )
332	323 180 331	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) )
333		iffalse	⊢ ( ¬ ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) )
334		iffalse	⊢ ( ¬ ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) )
335	333 334	eqtr4d	⊢ ( ¬ ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) )
336	190 335	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) )
337	336	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) = ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
338		resmpt	⊢ ( ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
339	195 338	mp1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑒 ∈ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) )
340	337 197 339	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) )
341	131 133	ifcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) ∈ 𝐾 )
342	341	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) ∈ 𝐾 )
343	342 211	ifcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ∈ 𝐾 )
344	343	fmpttd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 )
345		elmapg	⊢ ( ( 𝐾 ∈ V ∧ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 ) )
346	214 216 345	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 ) )
347	344 346	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ ( 𝐾 ↑_m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) )
348	347 222	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ 𝐵 )
349	13	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) )
350		reseq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) )
351	350	eqeq1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ) )
352		reseq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) )
353	352	eqeq1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) )
354	351 353	anbi12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ) )
355		fveqeq2	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) )
356	354 355	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
357	356	2ralbidv	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
358		sneq	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → { 𝑦 } = { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } )
359	358	xpeq2d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) = ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) )
360	359	oveq1d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) )
361	360	eqeq2d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ) )
362	361	anbi1d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ) )
363		oveq1	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) )
364	363	eqeq2d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) )
365	362 364	imbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → ( ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
366	365	2ralbidv	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) )
367	357 366	rspc2va	⊢ ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ∈ 𝐾 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) )
368	235 297 349 367	syl21anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) )
369		reseq1	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) )
370	369	oveq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) )
371	370	eqeq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ) )
372		reseq1	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) )
373	372	eqeq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) )
374	371 373	anbi12d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ) )
375		fveq2	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) = ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) )
376	375	oveq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) )
377	376	eqeq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) ) )
378	374 377	imbi12d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) ) ) )
379	270	xpeq1d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) = ( ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) )
380	270	reseq2d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) )
381	379 380	oveq12d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) = ( ( ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) )
382	272 381	eqeq12d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) ) )
383	277	reseq2d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) )
384	279 383	eqeq12d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ) )
385	382 384	anbi12d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ) ) )
386	385	imbi1d	⊢ ( 𝑤 = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) ) ) )
387	378 386	rspc2va	⊢ ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( 1^st ‘ 𝑐 ) ∈ 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) ) )
388	348 124 368 387	syl21anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) × { ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) } ) ∘_f · ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ↾ ( ( 𝑁 ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) ) )
389	332 340 388	mp2and	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) )
390	389	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) )
391	104 105 106 390	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , ( ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) )
392		simpl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 )
393		simprlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) )
394		simprr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
395		ralss	⊢ ( 𝑏 ⊆ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑤 ∈ 𝑏 → ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) )
396	99 395	ax-mp	⊢ ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑤 ∈ 𝑏 → ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
397		iftrue	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) = if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) )
398	397	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) = if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) )
399		ibar	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑤 ) = ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ↔ ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑤 ) = ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ) ) )
400	399	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑤 ) = ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ↔ ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑤 ) = ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ) ) )
401		relxp	⊢ Rel ( 𝑁 × 𝑁 )
402		simpl2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
403	402	sselda	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
404	403	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
405		1st2nd	⊢ ( ( Rel ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → 𝑤 = ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ )
406	401 404 405	sylancr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → 𝑤 = ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ )
407	406	eleq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ↔ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ) )
408		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) )
409		elmapi	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) → 𝑑 : 𝑁 ⟶ 𝑁 )
410	409	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → 𝑑 : 𝑁 ⟶ 𝑁 )
411	124	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑐 ) ∈ 𝑁 )
412		xp2nd	⊢ ( 𝑐 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ∈ 𝑁 )
413	122 412	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ∈ 𝑁 )
414	413	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ∈ 𝑁 )
415		fsets	⊢ ( ( ( 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ 𝑑 : 𝑁 ⟶ 𝑁 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑐 ) ∈ 𝑁 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ∈ 𝑁 ) → ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) : 𝑁 ⟶ 𝑁 )
416	408 410 411 414 415	syl211anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) : 𝑁 ⟶ 𝑁 )
417	416	ffnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) Fn 𝑁 )
418	417	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) Fn 𝑁 )
419		xp1st	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ 𝑁 )
420	403 419	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) → ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ 𝑁 )
421	420	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ 𝑁 )
422		fnopfvb	⊢ ( ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) Fn 𝑁 ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ‘ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ) = ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ↔ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ) )
423	418 421 422	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ‘ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ) = ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ↔ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ) )
424		fveq2	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ‘ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ) = ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ‘ ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) )
425	424	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ‘ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ) = ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ‘ ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) )
426		vex	⊢ 𝑑 ∈ V
427		fvex	⊢ ( 1^st ‘ 𝑐 ) ∈ V
428		fvex	⊢ ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ∈ V
429		fvsetsid	⊢ ( ( 𝑑 ∈ V ∧ ( 1^st ‘ 𝑐 ) ∈ V ∧ ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ∈ V ) → ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ‘ ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) = ( 2^nd ‘ 𝑐 ) )
430	426 427 428 429	mp3an	⊢ ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ‘ ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) = ( 2^nd ‘ 𝑐 )
431	425 430	eqtrdi	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ‘ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ) = ( 2^nd ‘ 𝑐 ) )
432	431	eqeq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ‘ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ) = ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ↔ ( 2^nd ‘ 𝑐 ) = ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ) )
433		eqcom	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑐 ) = ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ↔ ( 2^nd ‘ 𝑤 ) = ( 2^nd ‘ 𝑐 ) )
434	432 433	bitrdi	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ‘ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ) = ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ↔ ( 2^nd ‘ 𝑤 ) = ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ) )
435	407 423 434	3bitr2rd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑤 ) = ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ↔ 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ) )
436	122	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
437		xpopth	⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑤 ) = ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ) ↔ 𝑤 = 𝑐 ) )
438	404 436 437	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑤 ) = ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ) ↔ 𝑤 = 𝑐 ) )
439	400 435 438	3bitr3rd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( 𝑤 = 𝑐 ↔ 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ) )
440	439	ifbid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) )
441	398 440	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) )
442	441	a1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( ( 𝑤 ∈ 𝑏 → ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ) )
443		elsni	⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑐 } → 𝑤 = 𝑐 )
444	443	fveq2d	⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑐 } → ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) )
445	444	con3i	⊢ ( ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ¬ 𝑤 ∈ { 𝑐 } )
446	445	adantl	⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∧ ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ¬ 𝑤 ∈ { 𝑐 } )
447		elun	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝑏 ∨ 𝑤 ∈ { 𝑐 } ) )
448	447	birani	⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∧ ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( 𝑤 ∈ 𝑏 ∨ 𝑤 ∈ { 𝑐 } ) )
449		orel2	⊢ ( ¬ 𝑤 ∈ { 𝑐 } → ( ( 𝑤 ∈ 𝑏 ∨ 𝑤 ∈ { 𝑐 } ) → 𝑤 ∈ 𝑏 ) )
450	446 448 449	sylc	⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∧ ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → 𝑤 ∈ 𝑏 )
451	450	adantll	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → 𝑤 ∈ 𝑏 )
452		iffalse	⊢ ( ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
453	452	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
454		setsres	⊢ ( 𝑑 ∈ V → ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ↾ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) = ( 𝑑 ↾ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) )
455	454	eleq2d	⊢ ( 𝑑 ∈ V → ( ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ↾ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) ↔ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( 𝑑 ↾ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) ) )
456	426 455	mp1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ↾ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) ↔ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( 𝑑 ↾ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) ) )
457		fvex	⊢ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ V
458	457	a1i	⊢ ( ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ V )
459		neqne	⊢ ( ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( 1^st ‘ 𝑤 ) ≠ ( 1^st ‘ 𝑐 ) )
460		eldifsn	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ↔ ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ V ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ≠ ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) )
461	458 459 460	sylanbrc	⊢ ( ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) → ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) )
462		fvex	⊢ ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ∈ V
463	462	opres	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) → ( ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ↾ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) ↔ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ) )
464	463	adantl	⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) → ( ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ↾ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) ↔ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ) )
465		1st2nd2	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) → 𝑤 = ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ )
466	465	eleq1d	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ↔ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ) )
467	466	adantr	⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) → ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ↔ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ) )
468	464 467	bitr4d	⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) → ( ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ↾ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) ↔ 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ) )
469	403 461 468	syl2an	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ↾ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) ↔ 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ) )
470	462	opres	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) → ( ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( 𝑑 ↾ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) ↔ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ 𝑑 ) )
471	470	adantl	⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) → ( ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( 𝑑 ↾ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) ↔ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ 𝑑 ) )
472	465	eleq1d	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( 𝑤 ∈ 𝑑 ↔ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ 𝑑 ) )
473	472	adantr	⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) → ( 𝑤 ∈ 𝑑 ↔ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ 𝑑 ) )
474	471 473	bitr4d	⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑤 ) ∈ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) → ( ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( 𝑑 ↾ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) ↔ 𝑤 ∈ 𝑑 ) )
475	403 461 474	syl2an	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( ⟨ ( 1^st ‘ 𝑤 ) , ( 2^nd ‘ 𝑤 ) ⟩ ∈ ( 𝑑 ↾ ( V ∖ { ( 1^st ‘ 𝑐 ) } ) ) ↔ 𝑤 ∈ 𝑑 ) )
476	456 469 475	3bitr3rd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( 𝑤 ∈ 𝑑 ↔ 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ) )
477	476	ifbid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) )
478	453 477	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) )
479		ifeq2	⊢ ( ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) = if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
480	479	eqeq1d	⊢ ( ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → ( if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ↔ if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ) )
481	478 480	syl5ibrcom	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ) )
482	451 481	embantd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) ∧ ¬ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) → ( ( 𝑤 ∈ 𝑏 → ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ) )
483	442 482	pm2.61dan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) → ( ( 𝑤 ∈ 𝑏 → ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ) )
484		fveqeq2	⊢ ( 𝑒 = 𝑤 → ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ↔ ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) ) )
485		equequ1	⊢ ( 𝑒 = 𝑤 → ( 𝑒 = 𝑐 ↔ 𝑤 = 𝑐 ) )
486	485	ifbid	⊢ ( 𝑒 = 𝑤 → if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) = if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) )
487		fveq2	⊢ ( 𝑒 = 𝑤 → ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) = ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) )
488	484 486 487	ifbieq12d	⊢ ( 𝑒 = 𝑤 → if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) )
489		eqid	⊢ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) )
490	165 162	ifex	⊢ if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) ∈ V
491		fvex	⊢ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ∈ V
492	490 491	ifex	⊢ if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) ∈ V
493	488 489 492	fvmpt	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) )
494	493	eqeq1d	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ↔ if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ) )
495	403 494	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) → ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ↔ if ( ( 1^st ‘ 𝑤 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑤 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ) )
496	483 495	sylibrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ) → ( ( 𝑤 ∈ 𝑏 → ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ) )
497	496	ralimdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑤 ∈ 𝑏 → ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ) )
498	396 497	biimtrid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ) )
499	498	impr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) )
500	499	3adantr1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) )
501	348	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ 𝐵 )
502		simpr2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) )
503	502 409	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → 𝑑 : 𝑁 ⟶ 𝑁 )
504	124	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( 1^st ‘ 𝑐 ) ∈ 𝑁 )
505	413	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ∈ 𝑁 )
506	502 503 504 505 415	syl211anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) : 𝑁 ⟶ 𝑁 )
507	158 158	elmapd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ↔ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) : 𝑁 ⟶ 𝑁 ) )
508	507	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ↔ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) : 𝑁 ⟶ 𝑁 ) )
509	506 508	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) )
510		simpr1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 )
511		raleq	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) )
512	511	imbi1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) → ( ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) )
513	512	2ralbidv	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) )
514	513 15	elab2g	⊢ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 → ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) )
515	514	ibi	⊢ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) )
516	510 515	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) )
517		fveq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) )
518	517	eqeq1d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) )
519	518	ralbidv	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) )
520		fveqeq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ↔ ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = 0 ) )
521	519 520	imbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = 0 ) ) )
522		eleq2	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) → ( 𝑤 ∈ 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ) )
523	522	ifbid	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) → if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) )
524	523	eqeq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) → ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ) )
525	524	ralbidv	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) ) )
526	525	imbi1d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) → ( ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = 0 ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = 0 ) ) )
527	521 526	rspc2va	⊢ ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = 0 ) )
528	501 509 516 527	syl21anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( 𝑑 sSet ⟨ ( 1^st ‘ 𝑐 ) , ( 2^nd ‘ 𝑐 ) ⟩ ) , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = 0 ) )
529	500 528	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = 0 )
530	529	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 0 ) )
531	118	unssad	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
532	531	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
533		simpr3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
534		ssel2	⊢ ( ( 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑏 ) → 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
535	534	adantr	⊢ ( ( ( 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑏 ) ∧ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) )
536		elequ1	⊢ ( 𝑒 = 𝑤 → ( 𝑒 ∈ 𝑑 ↔ 𝑤 ∈ 𝑑 ) )
537	536	ifbid	⊢ ( 𝑒 = 𝑤 → if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
538	485 537 487	ifbieq12d	⊢ ( 𝑒 = 𝑤 → if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = if ( 𝑤 = 𝑐 , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) )
539		eqid	⊢ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) )
540	165 162	ifex	⊢ if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ∈ V
541	540 491	ifex	⊢ if ( 𝑤 = 𝑐 , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) ∈ V
542	538 539 541	fvmpt	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 = 𝑐 , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) )
543	535 542	syl	⊢ ( ( ( 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑏 ) ∧ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 = 𝑐 , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) )
544		ifeq2	⊢ ( ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → if ( 𝑤 = 𝑐 , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) = if ( 𝑤 = 𝑐 , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
545	544	adantl	⊢ ( ( ( 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑏 ) ∧ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → if ( 𝑤 = 𝑐 , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) = if ( 𝑤 = 𝑐 , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
546		ifid	⊢ if ( 𝑤 = 𝑐 , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 )
547	545 546	eqtrdi	⊢ ( ( ( 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑏 ) ∧ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → if ( 𝑤 = 𝑐 , if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
548	543 547	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑏 ) ∧ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
549	548	ex	⊢ ( ( 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑏 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
550	549	ralimdva	⊢ ( 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
551	532 533 550	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
552	142 291	eqtrd	⊢ ( 𝑒 = 𝑐 → if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) = if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
553	165 162	ifex	⊢ if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ∈ V
554	552 539 553	fvmpt	⊢ ( 𝑐 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑐 ) = if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
555	122 554	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑐 ) = if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
556	555	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑐 ) = if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
557		fveq2	⊢ ( 𝑤 = 𝑐 → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑐 ) )
558		elequ1	⊢ ( 𝑤 = 𝑐 → ( 𝑤 ∈ 𝑑 ↔ 𝑐 ∈ 𝑑 ) )
559	558	ifbid	⊢ ( 𝑤 = 𝑐 → if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) = if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
560	557 559	eqeq12d	⊢ ( 𝑤 = 𝑐 → ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ↔ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑐 ) = if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
561	560	ralunsn	⊢ ( 𝑐 ∈ V → ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑐 ) = if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) )
562	561	elv	⊢ ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ∧ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑐 ) = if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
563	551 556 562	sylanbrc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
564	223	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ 𝐵 )
565		fveq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) )
566	565	eqeq1d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) )
567	566	ralbidv	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) )
568		fveqeq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ↔ ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = 0 ) )
569	567 568	imbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) → ( ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = 0 ) ) )
570		elequ2	⊢ ( 𝑧 = 𝑑 → ( 𝑤 ∈ 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ 𝑑 ) )
571	570	ifbid	⊢ ( 𝑧 = 𝑑 → if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) )
572	571	eqeq2d	⊢ ( 𝑧 = 𝑑 → ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
573	572	ralbidv	⊢ ( 𝑧 = 𝑑 → ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
574	573	imbi1d	⊢ ( 𝑧 = 𝑑 → ( ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = 0 ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = 0 ) ) )
575	569 574	rspc2va	⊢ ( ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = 0 ) )
576	564 502 516 575	syl21anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = 0 ) )
577	563 576	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) = 0 )
578	530 577	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 0 ) + 0 ) )
579	308	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 0 ) + 0 ) = ( 0 + 0 ) )
580	3 6 4	grplid	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐾 ) → ( 0 + 0 ) = 0 )
581	115 133 580	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 0 + 0 ) = 0 )
582	579 581	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 0 ) + 0 ) = 0 )
583	582	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · 0 ) + 0 ) = 0 )
584	578 583	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) = 0 )
585	104 105 106 392 393 394 584	syl33anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑎 ‘ 𝑐 ) ( -_g ‘ 𝑅 ) if ( 𝑐 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) · ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( ( 1^st ‘ 𝑒 ) = ( 1^st ‘ 𝑐 ) , if ( 𝑒 = 𝑐 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) + ( 𝐷 ‘ ( 𝑒 ∈ ( 𝑁 × 𝑁 ) ↦ if ( 𝑒 = 𝑐 , if ( 𝑒 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) , ( 𝑎 ‘ 𝑒 ) ) ) ) ) = 0 )
586	288 391 585	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ∧ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = 0 )
587	586	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ) → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = 0 ) )
588	587	ralrimivva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) → ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = 0 ) )
589		fveq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) )
590	589	eqeq1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ↔ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
591	590	ralbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ) )
592		fveqeq2	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = 0 ↔ ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) )
593	591 592	imbi12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = 0 ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) )
594		elequ2	⊢ ( 𝑑 = 𝑧 → ( 𝑤 ∈ 𝑑 ↔ 𝑤 ∈ 𝑧 ) )
595	594	ifbid	⊢ ( 𝑑 = 𝑧 → if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) )
596	595	eqeq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝑧 → ( ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ↔ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) )
597	596	ralbidv	⊢ ( 𝑑 = 𝑧 → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) )
598	597	imbi1d	⊢ ( 𝑑 = 𝑧 → ( ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) )
599	593 598	cbvral2vw	⊢ ( ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑑 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑑 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = 0 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) )
600	588 599	sylib	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) )
601		vex	⊢ 𝑏 ∈ V
602		raleq	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) )
603	602	imbi1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) )
604	603	2ralbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) )
605	601 604 15	elab2	⊢ ( 𝑏 ∈ 𝑌 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑏 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) )
606	600 605	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) → 𝑏 ∈ 𝑌 )
607	606	3expia	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → ( ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 → 𝑏 ∈ 𝑌 ) )
608	607	con3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → ( ¬ 𝑏 ∈ 𝑌 → ¬ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) )
609	608	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ( ¬ 𝑏 ∈ 𝑌 → ¬ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) )
610	609	a1i	⊢ ( ( 𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏 ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ( ¬ 𝑏 ∈ 𝑌 → ¬ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ) )
611	610	a2d	⊢ ( ( 𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ 𝑏 ∈ 𝑌 ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ) )
612	103 611	syl5	⊢ ( ( 𝑏 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑏 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ 𝑏 ∈ 𝑌 ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ ( 𝑏 ∪ { 𝑐 } ) ∈ 𝑌 ) ) )
613	82 87 92 97 98 612	findcard2s	⊢ ( ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ Fin → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ 𝑌 ) )
614	77 613	mpcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∧ ¬ ∅ ∈ 𝑌 ) → ¬ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ 𝑌 )
615	614	3exp	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 × 𝑁 ) ⊆ ( 𝑁 × 𝑁 ) → ( ¬ ∅ ∈ 𝑌 → ¬ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ 𝑌 ) ) )
616	76 615	mpi	⊢ ( 𝜑 → ( ¬ ∅ ∈ 𝑌 → ¬ ( 𝑁 × 𝑁 ) ∈ 𝑌 ) )
617	75 616	mt4d	⊢ ( 𝜑 → ∅ ∈ 𝑌 )
618	617	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ∅ ∈ 𝑌 )
619		0ex	⊢ ∅ ∈ V
620		raleq	⊢ ( 𝑥 = ∅ → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) )
621	620	imbi1d	⊢ ( 𝑥 = ∅ → ( ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) )
622	621	2ralbidv	⊢ ( 𝑥 = ∅ → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) )
623	619 622 15	elab2	⊢ ( ∅ ∈ 𝑌 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) )
624	618 623	sylib	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) )
625		fveq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑎 → ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) )
626	625	eqeq1d	⊢ ( 𝑦 = 𝑎 → ( ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) )
627	626	ralbidv	⊢ ( 𝑦 = 𝑎 → ( ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ) )
628		fveqeq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑎 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ↔ ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = 0 ) )
629	627 628	imbi12d	⊢ ( 𝑦 = 𝑎 → ( ( ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = 0 ) ) )
630		eleq2	⊢ ( 𝑧 = ( I ↾ 𝑁 ) → ( 𝑤 ∈ 𝑧 ↔ 𝑤 ∈ ( I ↾ 𝑁 ) ) )
631	630	ifbid	⊢ ( 𝑧 = ( I ↾ 𝑁 ) → if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) = if ( 𝑤 ∈ ( I ↾ 𝑁 ) , 1 , 0 ) )
632	631	eqeq2d	⊢ ( 𝑧 = ( I ↾ 𝑁 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( I ↾ 𝑁 ) , 1 , 0 ) ) )
633	632	ralbidv	⊢ ( 𝑧 = ( I ↾ 𝑁 ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( I ↾ 𝑁 ) , 1 , 0 ) ) )
634	633	imbi1d	⊢ ( 𝑧 = ( I ↾ 𝑁 ) → ( ( ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = 0 ) ↔ ( ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( I ↾ 𝑁 ) , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = 0 ) ) )
635	629 634	rspc2va	⊢ ( ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝑁 ) ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ ( 𝑁 ↑_m 𝑁 ) ( ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑦 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ 𝑧 , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = 0 ) ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( I ↾ 𝑁 ) , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = 0 ) )
636	17 23 624 635	syl21anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ∅ ( 𝑎 ‘ 𝑤 ) = if ( 𝑤 ∈ ( I ↾ 𝑁 ) , 1 , 0 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = 0 ) )
637	16 636	mpi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) = 0 )
638	637	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) ) = ( 𝑎 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) )
639	10	feqmptd	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = ( 𝑎 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝐷 ‘ 𝑎 ) ) )
640		fconstmpt	⊢ ( 𝐵 × { 0 } ) = ( 𝑎 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
641	640	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 × { 0 } ) = ( 𝑎 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) )
642	638 639 641	3eqtr4d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = ( 𝐵 × { 0 } ) )

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Theorem mdetunilem9

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