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Theorem mhppwdeg

Description: Degree of a homogeneous polynomial raised to a power. General version of deg1pw . (Contributed by SN, 26-Jul-2024) Remove sethood hypothesis. (Revised by SN, 18-May-2025)

Ref Expression
Hypotheses mhppwdeg.h ⊢ 𝐻 = ( 𝐼 mHomP 𝑅 )
mhppwdeg.p ⊢ 𝑃 = ( 𝐼 mPoly 𝑅 )
mhppwdeg.t ⊢ 𝑇 = ( mulGrp ‘ 𝑃 )
mhppwdeg.e ⊢ ↑ = ( .g ‘ 𝑇 )
mhppwdeg.r ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
mhppwdeg.m ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 )
mhppwdeg.n ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
mhppwdeg.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐻 ‘ 𝑀 ) )
Assertion mhppwdeg ( 𝜑 → ( 𝑁 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mhppwdeg.h ⊢ 𝐻 = ( 𝐼 mHomP 𝑅 )
2 mhppwdeg.p ⊢ 𝑃 = ( 𝐼 mPoly 𝑅 )
3 mhppwdeg.t ⊢ 𝑇 = ( mulGrp ‘ 𝑃 )
4 mhppwdeg.e ⊢ ↑ = ( .g ‘ 𝑇 )
5 mhppwdeg.r ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
6 mhppwdeg.m ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 )
7 mhppwdeg.n ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
8 mhppwdeg.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐻 ‘ 𝑀 ) )
9 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) = ( 0 ↑ 𝑋 ) )
10 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑀 · 𝑥 ) = ( 𝑀 · 0 ) )
11 10 fveq2d ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) = ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 0 ) ) )
12 9 11 eleq12d ⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ↔ ( 0 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 0 ) ) ) )
13 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) = ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) )
14 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑀 · 𝑥 ) = ( 𝑀 · 𝑦 ) )
15 14 fveq2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) = ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) )
16 13 15 eleq12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ↔ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) )
17 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + 1 ) → ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) = ( ( 𝑦 + 1 ) ↑ 𝑋 ) )
18 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + 1 ) → ( 𝑀 · 𝑥 ) = ( 𝑀 · ( 𝑦 + 1 ) ) )
19 18 fveq2d ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + 1 ) → ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) = ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · ( 𝑦 + 1 ) ) ) )
20 17 19 eleq12d ⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 + 1 ) → ( ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝑦 + 1 ) ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · ( 𝑦 + 1 ) ) ) ) )
21 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑁 → ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) = ( 𝑁 ↑ 𝑋 ) )
22 oveq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑁 → ( 𝑀 · 𝑥 ) = ( 𝑀 · 𝑁 ) )
23 22 fveq2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑁 → ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) = ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) )
24 21 23 eleq12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑁 → ( ( 𝑥 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ↔ ( 𝑁 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ) )
25 reldmmhp ⊢ Rel dom mHomP
26 25 1 8 elfvov1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ V )
27 2 26 5 mplsca ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑃 ) )
28 27 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ ( Scalar ‘ 𝑃 ) ) )
29 28 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ 𝑃 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) = ( ( algSc ‘ 𝑃 ) ‘ ( 1r ‘ ( Scalar ‘ 𝑃 ) ) ) )
30 eqid ⊢ ( algSc ‘ 𝑃 ) = ( algSc ‘ 𝑃 )
31 eqid ⊢ ( Scalar ‘ 𝑃 ) = ( Scalar ‘ 𝑃 )
32 2 mpllmod ⊢ ( ( 𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑃 ∈ LMod )
33 26 5 32 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ LMod )
34 2 mplring ⊢ ( ( 𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑃 ∈ Ring )
35 26 5 34 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ Ring )
36 30 31 33 35 ascl1 ⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ 𝑃 ) ‘ ( 1r ‘ ( Scalar ‘ 𝑃 ) ) ) = ( 1r ‘ 𝑃 ) )
37 29 36 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ 𝑃 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) = ( 1r ‘ 𝑃 ) )
38 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
39 eqid ⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 )
40 38 39 ringidcl ⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
41 5 40 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
42 1 2 30 38 26 5 41 mhpsclcl ⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ 𝑃 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ∈ ( 𝐻 ‘ 0 ) )
43 37 42 eqeltrrd ⊢ ( 𝜑 → ( 1r ‘ 𝑃 ) ∈ ( 𝐻 ‘ 0 ) )
44 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝑃 ) = ( Base ‘ 𝑃 )
45 1 2 44 26 5 6 8 mhpmpl ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) )
46 3 44 mgpbas ⊢ ( Base ‘ 𝑃 ) = ( Base ‘ 𝑇 )
47 eqid ⊢ ( 1r ‘ 𝑃 ) = ( 1r ‘ 𝑃 )
48 3 47 ringidval ⊢ ( 1r ‘ 𝑃 ) = ( 0g ‘ 𝑇 )
49 46 48 4 mulg0 ⊢ ( 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) → ( 0 ↑ 𝑋 ) = ( 1r ‘ 𝑃 ) )
50 45 49 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 0 ↑ 𝑋 ) = ( 1r ‘ 𝑃 ) )
51 6 nn0cnd ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ )
52 51 mul01d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 · 0 ) = 0 )
53 52 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 0 ) ) = ( 𝐻 ‘ 0 ) )
54 43 50 53 3eltr4d ⊢ ( 𝜑 → ( 0 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 0 ) ) )
55 eqid ⊢ ( .r ‘ 𝑃 ) = ( .r ‘ 𝑃 )
56 5 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
57 6 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℕ0 )
58 simplr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℕ0 )
59 57 58 nn0mulcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → ( 𝑀 · 𝑦 ) ∈ ℕ0 )
60 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) )
61 8 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝐻 ‘ 𝑀 ) )
62 1 2 55 56 59 57 60 61 mhpmulcl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → ( ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑃 ) 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( ( 𝑀 · 𝑦 ) + 𝑀 ) ) )
63 3 ringmgp ⊢ ( 𝑃 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd )
64 35 63 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd )
65 64 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → 𝑇 ∈ Mnd )
66 45 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) )
67 3 55 mgpplusg ⊢ ( .r ‘ 𝑃 ) = ( +g ‘ 𝑇 )
68 46 4 67 mulgnn0p1 ⊢ ( ( 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑦 + 1 ) ↑ 𝑋 ) = ( ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑃 ) 𝑋 ) )
69 65 58 66 68 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → ( ( 𝑦 + 1 ) ↑ 𝑋 ) = ( ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑃 ) 𝑋 ) )
70 51 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℂ )
71 58 nn0cnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℂ )
72 1cnd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → 1 ∈ ℂ )
73 70 71 72 adddid ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → ( 𝑀 · ( 𝑦 + 1 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑦 ) + ( 𝑀 · 1 ) ) )
74 70 mulridd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → ( 𝑀 · 1 ) = 𝑀 )
75 74 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → ( ( 𝑀 · 𝑦 ) + ( 𝑀 · 1 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑦 ) + 𝑀 ) )
76 73 75 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → ( 𝑀 · ( 𝑦 + 1 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑦 ) + 𝑀 ) )
77 76 fveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · ( 𝑦 + 1 ) ) ) = ( 𝐻 ‘ ( ( 𝑀 · 𝑦 ) + 𝑀 ) ) )
78 62 69 77 3eltr4d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑦 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑦 ) ) ) → ( ( 𝑦 + 1 ) ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · ( 𝑦 + 1 ) ) ) )
79 12 16 20 24 54 78 nn0indd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) )
80 7 79 mpdan ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ↑ 𝑋 ) ∈ ( 𝐻 ‘ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) )