mirval

Description: Value of the point inversion function S . Definition 7.5 of Schwabhauser p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	mirval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	mirval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
	mirval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	mirval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
	mirval.s	⊢ 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 )
	mirval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	mirval.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
Assertion	mirval	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) = ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		mirval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
3		mirval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		mirval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
5		mirval.s	⊢ 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 )
6		mirval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
7		mirval.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
8		df-mir	⊢ pInvG = ( 𝑔 ∈ V ↦ ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑔 ) ↦ ( 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑔 ) ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝑔 ) ( ( 𝑥 ( dist ‘ 𝑔 ) 𝑧 ) = ( 𝑥 ( dist ‘ 𝑔 ) 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 ( Itv ‘ 𝑔 ) 𝑦 ) ) ) ) ) )
9		fveq2	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( Base ‘ 𝑔 ) = ( Base ‘ 𝐺 ) )
10	9 1	eqtr4di	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( Base ‘ 𝑔 ) = 𝑃 )
11		fveq2	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( dist ‘ 𝑔 ) = ( dist ‘ 𝐺 ) )
12	11 2	eqtr4di	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( dist ‘ 𝑔 ) = − )
13	12	oveqd	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( 𝑥 ( dist ‘ 𝑔 ) 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑧 ) )
14	12	oveqd	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( 𝑥 ( dist ‘ 𝑔 ) 𝑦 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) )
15	13 14	eqeq12d	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( ( 𝑥 ( dist ‘ 𝑔 ) 𝑧 ) = ( 𝑥 ( dist ‘ 𝑔 ) 𝑦 ) ↔ ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ) )
16		fveq2	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( Itv ‘ 𝑔 ) = ( Itv ‘ 𝐺 ) )
17	16 3	eqtr4di	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( Itv ‘ 𝑔 ) = 𝐼 )
18	17	oveqd	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( 𝑧 ( Itv ‘ 𝑔 ) 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) )
19	18	eleq2d	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑧 ( Itv ‘ 𝑔 ) 𝑦 ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) )
20	15 19	anbi12d	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( ( ( 𝑥 ( dist ‘ 𝑔 ) 𝑧 ) = ( 𝑥 ( dist ‘ 𝑔 ) 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 ( Itv ‘ 𝑔 ) 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) )
21	10 20	riotaeqbidv	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( ℩ 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝑔 ) ( ( 𝑥 ( dist ‘ 𝑔 ) 𝑧 ) = ( 𝑥 ( dist ‘ 𝑔 ) 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 ( Itv ‘ 𝑔 ) 𝑦 ) ) ) = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) )
22	10 21	mpteq12dv	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑔 ) ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝑔 ) ( ( 𝑥 ( dist ‘ 𝑔 ) 𝑧 ) = ( 𝑥 ( dist ‘ 𝑔 ) 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 ( Itv ‘ 𝑔 ) 𝑦 ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) )
23	10 22	mpteq12dv	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑔 ) ↦ ( 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑔 ) ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝑔 ) ( ( 𝑥 ( dist ‘ 𝑔 ) 𝑧 ) = ( 𝑥 ( dist ‘ 𝑔 ) 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 ( Itv ‘ 𝑔 ) 𝑦 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑃 ↦ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) ) )
24	6	elexd	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ V )
25	1	fvexi	⊢ 𝑃 ∈ V
26	25	mptex	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ↦ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) ) ∈ V
27	26	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑃 ↦ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) ) ∈ V )
28	8 23 24 27	fvmptd3	⊢ ( 𝜑 → ( pInvG ‘ 𝐺 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑃 ↦ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) ) )
29	5 28	eqtrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 = ( 𝑥 ∈ 𝑃 ↦ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) ) )
30		simpll	⊢ ( ( ( 𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) → 𝑥 = 𝐴 )
31	30	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑧 ) )
32	30	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑥 − 𝑦 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) )
33	31 32	eqeq12d	⊢ ( ( ( 𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ↔ ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) )
34	30	eleq1d	⊢ ( ( ( 𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ↔ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) )
35	33 34	anbi12d	⊢ ( ( ( 𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) → ( ( ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) )
36	35	riotabidva	⊢ ( ( 𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) → ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) )
37	36	mpteq2dva	⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) )
38	37	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝑥 − 𝑧 ) = ( 𝑥 − 𝑦 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) )
39	25	mptex	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) ∈ V
40	39	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) ∈ V )
41	29 38 7 40	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) = ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) )

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Theorem mirval

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