Theorem modmuladd

Description: Decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021)

	Ref	Expression
Assertion	modmuladd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 mod 𝑀 ) = 𝐵 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + 𝐵 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre	⊢ ( 𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ )
2	1	adantr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ∈ ℝ )
3		rpre	⊢ ( 𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ )
4	3	adantl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ∈ ℝ )
5		rpne0	⊢ ( 𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ≠ 0 )
6	5	adantl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → 𝑀 ≠ 0 )
7	2 4 6	redivcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 / 𝑀 ) ∈ ℝ )
8	7	flcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝑀 ) ) ∈ ℤ )
9	8	3adant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝑀 ) ) ∈ ℤ )
10		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝑀 ) ) → ( 𝑘 · 𝑀 ) = ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝑀 ) ) · 𝑀 ) )
11	10	oveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝑀 ) ) → ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + ( 𝐴 mod 𝑀 ) ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝑀 ) ) · 𝑀 ) + ( 𝐴 mod 𝑀 ) ) )
12	11	eqeq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝑀 ) ) → ( 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + ( 𝐴 mod 𝑀 ) ) ↔ 𝐴 = ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝑀 ) ) · 𝑀 ) + ( 𝐴 mod 𝑀 ) ) ) )
13	12	adantl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝑀 ) ) ) → ( 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + ( 𝐴 mod 𝑀 ) ) ↔ 𝐴 = ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝑀 ) ) · 𝑀 ) + ( 𝐴 mod 𝑀 ) ) ) )
14	1	anim1i	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) )
15	14	3adant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) )
16		flpmodeq	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝑀 ) ) · 𝑀 ) + ( 𝐴 mod 𝑀 ) ) = 𝐴 )
17	15 16	syl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝑀 ) ) · 𝑀 ) + ( 𝐴 mod 𝑀 ) ) = 𝐴 )
18	17	eqcomd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 = ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝑀 ) ) · 𝑀 ) + ( 𝐴 mod 𝑀 ) ) )
19	9 13 18	rspcedvd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + ( 𝐴 mod 𝑀 ) ) )
20		oveq2	⊢ ( 𝐵 = ( 𝐴 mod 𝑀 ) → ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + 𝐵 ) = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + ( 𝐴 mod 𝑀 ) ) )
21	20	eqeq2d	⊢ ( 𝐵 = ( 𝐴 mod 𝑀 ) → ( 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + 𝐵 ) ↔ 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + ( 𝐴 mod 𝑀 ) ) ) )
22	21	eqcoms	⊢ ( ( 𝐴 mod 𝑀 ) = 𝐵 → ( 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + 𝐵 ) ↔ 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + ( 𝐴 mod 𝑀 ) ) ) )
23	22	rexbidv	⊢ ( ( 𝐴 mod 𝑀 ) = 𝐵 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + ( 𝐴 mod 𝑀 ) ) ) )
24	19 23	syl5ibrcom	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 mod 𝑀 ) = 𝐵 → ∃ 𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + 𝐵 ) ) )
25		oveq1	⊢ ( 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + 𝐵 ) → ( 𝐴 mod 𝑀 ) = ( ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + 𝐵 ) mod 𝑀 ) )
26		simpr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℤ )
27		simpl3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∈ ℝ+ )
28		simpl2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) )
29		muladdmodid	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + 𝐵 ) mod 𝑀 ) = 𝐵 )
30	26 27 28 29	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + 𝐵 ) mod 𝑀 ) = 𝐵 )
31	25 30	sylan9eqr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + 𝐵 ) ) → ( 𝐴 mod 𝑀 ) = 𝐵 )
32	31	rexlimdva2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + 𝐵 ) → ( 𝐴 mod 𝑀 ) = 𝐵 ) )
33	24 32	impbid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ( 0 [,) 𝑀 ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 mod 𝑀 ) = 𝐵 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ( ( 𝑘 · 𝑀 ) + 𝐵 ) ) )