Theorem modprminveq

Description: The modular inverse of A mod P is unique. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018)

	Ref	Expression
Hypothesis	modprminv.1	⊢ 𝑅 = ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑃 − 2 ) ) mod 𝑃 )
Assertion	modprminveq	⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ) → ( ( 𝑆 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑆 ) mod 𝑃 ) = 1 ) ↔ 𝑆 = 𝑅 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modprminv.1	⊢ 𝑅 = ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑃 − 2 ) ) mod 𝑃 )
2		elfzelz	⊢ ( 𝑆 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) → 𝑆 ∈ ℤ )
3		zmulcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 · 𝑆 ) ∈ ℤ )
4	2 3	sylan2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝐴 · 𝑆 ) ∈ ℤ )
5		modprm1div	⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( 𝐴 · 𝑆 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 · 𝑆 ) mod 𝑃 ) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 · 𝑆 ) − 1 ) ) )
6	4 5	sylan2	⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝑆 ) mod 𝑃 ) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 · 𝑆 ) − 1 ) ) )
7	6	expr	⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ) → ( 𝑆 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝑆 ) mod 𝑃 ) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 · 𝑆 ) − 1 ) ) ) )
8	7	3adant3	⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ) → ( 𝑆 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝑆 ) mod 𝑃 ) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 · 𝑆 ) − 1 ) ) ) )
9	8	pm5.32d	⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ) → ( ( 𝑆 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑆 ) mod 𝑃 ) = 1 ) ↔ ( 𝑆 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 · 𝑆 ) − 1 ) ) ) )
10	1	prmdiveq	⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ) → ( ( 𝑆 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 · 𝑆 ) − 1 ) ) ↔ 𝑆 = 𝑅 ) )
11	9 10	bitrd	⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ) → ( ( 𝑆 ∈ ( 0 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑆 ) mod 𝑃 ) = 1 ) ↔ 𝑆 = 𝑅 ) )