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Theorem monmat2matmon

Description: The transformation of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries into a scaled monomial as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 11-Nov-2019) (Revised by AV, 7-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses monmat2matmon.p 𝑃 = ( Poly1𝑅 )
monmat2matmon.c 𝐶 = ( 𝑁 Mat 𝑃 )
monmat2matmon.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐶 )
monmat2matmon.m1 = ( ·𝑠𝑄 )
monmat2matmon.e1 = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑄 ) )
monmat2matmon.x 𝑋 = ( var1𝐴 )
monmat2matmon.a 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
monmat2matmon.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝐴 )
monmat2matmon.q 𝑄 = ( Poly1𝐴 )
monmat2matmon.i 𝐼 = ( 𝑁 pMatToMatPoly 𝑅 )
monmat2matmon.e2 𝐸 = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) )
monmat2matmon.y 𝑌 = ( var1𝑅 )
monmat2matmon.m2 · = ( ·𝑠𝐶 )
monmat2matmon.t 𝑇 = ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 )
Assertion monmat2matmon ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) ) = ( 𝑀 ( 𝐿 𝑋 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 monmat2matmon.p 𝑃 = ( Poly1𝑅 )
2 monmat2matmon.c 𝐶 = ( 𝑁 Mat 𝑃 )
3 monmat2matmon.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐶 )
4 monmat2matmon.m1 = ( ·𝑠𝑄 )
5 monmat2matmon.e1 = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑄 ) )
6 monmat2matmon.x 𝑋 = ( var1𝐴 )
7 monmat2matmon.a 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
8 monmat2matmon.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝐴 )
9 monmat2matmon.q 𝑄 = ( Poly1𝐴 )
10 monmat2matmon.i 𝐼 = ( 𝑁 pMatToMatPoly 𝑅 )
11 monmat2matmon.e2 𝐸 = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑃 ) )
12 monmat2matmon.y 𝑌 = ( var1𝑅 )
13 monmat2matmon.m2 · = ( ·𝑠𝐶 )
14 monmat2matmon.t 𝑇 = ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 )
15 crngring ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring )
16 simpll ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑁 ∈ Fin )
17 simplr ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
18 7 8 14 1 2 3 13 11 12 mat2pmatscmxcl ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) ∈ 𝐵 )
19 1 2 3 4 5 6 7 9 10 pm2mpfval ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝐼 ‘ ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) ) = ( 𝑄 Σg ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) decompPMat 𝑘 ) ( 𝑘 𝑋 ) ) ) ) )
20 16 17 18 19 syl3anc ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) ) = ( 𝑄 Σg ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) decompPMat 𝑘 ) ( 𝑘 𝑋 ) ) ) ) )
21 15 20 sylanl2 ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) ) = ( 𝑄 Σg ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) decompPMat 𝑘 ) ( 𝑘 𝑋 ) ) ) ) )
22 simpll ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) )
23 simpr ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) )
24 23 anim1i ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) )
25 df-3an ( ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 ) ↔ ( ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) )
26 24 25 sylibr ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 ) )
27 eqid ( 0g𝐴 ) = ( 0g𝐴 )
28 1 2 7 8 27 11 12 13 14 monmatcollpw ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) decompPMat 𝑘 ) = if ( 𝑘 = 𝐿 , 𝑀 , ( 0g𝐴 ) ) )
29 22 26 28 syl2anc ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) decompPMat 𝑘 ) = if ( 𝑘 = 𝐿 , 𝑀 , ( 0g𝐴 ) ) )
30 29 oveq1d ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) decompPMat 𝑘 ) ( 𝑘 𝑋 ) ) = ( if ( 𝑘 = 𝐿 , 𝑀 , ( 0g𝐴 ) ) ( 𝑘 𝑋 ) ) )
31 15 a1i ( 𝑘 ∈ ℕ0 → ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring ) )
32 31 anim2d ( 𝑘 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ) )
33 32 anim1d ( 𝑘 ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ) )
34 33 imdistanri ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) )
35 ovif ( if ( 𝑘 = 𝐿 , 𝑀 , ( 0g𝐴 ) ) ( 𝑘 𝑋 ) ) = if ( 𝑘 = 𝐿 , ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) , ( ( 0g𝐴 ) ( 𝑘 𝑋 ) ) )
36 7 matring ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝐴 ∈ Ring )
37 9 ply1sca ( 𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = ( Scalar ‘ 𝑄 ) )
38 36 37 syl ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝐴 = ( Scalar ‘ 𝑄 ) )
39 38 ad2antrr ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝐴 = ( Scalar ‘ 𝑄 ) )
40 39 fveq2d ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 0g𝐴 ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) ) )
41 40 oveq1d ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 0g𝐴 ) ( 𝑘 𝑋 ) ) = ( ( 0g ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) ) ( 𝑘 𝑋 ) ) )
42 9 ply1lmod ( 𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod )
43 36 42 syl ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑄 ∈ LMod )
44 43 ad2antrr ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑄 ∈ LMod )
45 eqid ( mulGrp ‘ 𝑄 ) = ( mulGrp ‘ 𝑄 )
46 eqid ( Base ‘ 𝑄 ) = ( Base ‘ 𝑄 )
47 45 46 mgpbas ( Base ‘ 𝑄 ) = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ 𝑄 ) )
48 9 ply1ring ( 𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring )
49 36 48 syl ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑄 ∈ Ring )
50 45 ringmgp ( 𝑄 ∈ Ring → ( mulGrp ‘ 𝑄 ) ∈ Mnd )
51 49 50 syl ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( mulGrp ‘ 𝑄 ) ∈ Mnd )
52 51 ad2antrr ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( mulGrp ‘ 𝑄 ) ∈ Mnd )
53 simpr ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
54 6 9 46 vr1cl ( 𝐴 ∈ Ring → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑄 ) )
55 36 54 syl ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑄 ) )
56 55 ad2antrr ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑄 ) )
57 47 5 52 53 56 mulgnn0cld ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑘 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑄 ) )
58 eqid ( Scalar ‘ 𝑄 ) = ( Scalar ‘ 𝑄 )
59 eqid ( 0g ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) )
60 eqid ( 0g𝑄 ) = ( 0g𝑄 )
61 46 58 4 59 60 lmod0vs ( ( 𝑄 ∈ LMod ∧ ( 𝑘 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑄 ) ) → ( ( 0g ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) ) ( 𝑘 𝑋 ) ) = ( 0g𝑄 ) )
62 44 57 61 syl2anc ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 0g ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) ) ( 𝑘 𝑋 ) ) = ( 0g𝑄 ) )
63 41 62 eqtrd ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 0g𝐴 ) ( 𝑘 𝑋 ) ) = ( 0g𝑄 ) )
64 63 ifeq2d ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → if ( 𝑘 = 𝐿 , ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) , ( ( 0g𝐴 ) ( 𝑘 𝑋 ) ) ) = if ( 𝑘 = 𝐿 , ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) , ( 0g𝑄 ) ) )
65 35 64 eqtrid ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( if ( 𝑘 = 𝐿 , 𝑀 , ( 0g𝐴 ) ) ( 𝑘 𝑋 ) ) = if ( 𝑘 = 𝐿 , ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) , ( 0g𝑄 ) ) )
66 34 65 syl ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( if ( 𝑘 = 𝐿 , 𝑀 , ( 0g𝐴 ) ) ( 𝑘 𝑋 ) ) = if ( 𝑘 = 𝐿 , ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) , ( 0g𝑄 ) ) )
67 30 66 eqtrd ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) decompPMat 𝑘 ) ( 𝑘 𝑋 ) ) = if ( 𝑘 = 𝐿 , ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) , ( 0g𝑄 ) ) )
68 67 mpteq2dva ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) decompPMat 𝑘 ) ( 𝑘 𝑋 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if ( 𝑘 = 𝐿 , ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) , ( 0g𝑄 ) ) ) )
69 68 oveq2d ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑄 Σg ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) decompPMat 𝑘 ) ( 𝑘 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑄 Σg ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if ( 𝑘 = 𝐿 , ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) , ( 0g𝑄 ) ) ) ) )
70 ringmnd ( 𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Mnd )
71 49 70 syl ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑄 ∈ Mnd )
72 71 adantr ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑄 ∈ Mnd )
73 nn0ex 0 ∈ V
74 73 a1i ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → ℕ0 ∈ V )
75 simprr ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → 𝐿 ∈ ℕ0 )
76 eqid ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if ( 𝑘 = 𝐿 , ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) , ( 0g𝑄 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if ( 𝑘 = 𝐿 , ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) , ( 0g𝑄 ) ) )
77 38 fveq2d ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( Base ‘ 𝐴 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) ) )
78 8 77 eqtrid ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝐾 = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) ) )
79 78 eleq2d ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 𝑀𝐾𝑀 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) ) ) )
80 79 biimpcd ( 𝑀𝐾 → ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑀 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) ) ) )
81 80 adantr ( ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑀 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) ) ) )
82 81 impcom ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑀 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) ) )
83 82 adantr ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑀 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) ) )
84 eqid ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) )
85 46 58 4 84 lmodvscl ( ( 𝑄 ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑘 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑄 ) ) → ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑄 ) )
86 44 83 57 85 syl3anc ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑄 ) )
87 86 ralrimiva ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ0 ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑄 ) )
88 60 72 74 75 76 87 gsummpt1n0 ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑄 Σg ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if ( 𝑘 = 𝐿 , ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) , ( 0g𝑄 ) ) ) ) = 𝐿 / 𝑘 ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) )
89 15 88 sylanl2 ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑄 Σg ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if ( 𝑘 = 𝐿 , ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) , ( 0g𝑄 ) ) ) ) = 𝐿 / 𝑘 ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) )
90 69 89 eqtrd ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑄 Σg ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) decompPMat 𝑘 ) ( 𝑘 𝑋 ) ) ) ) = 𝐿 / 𝑘 ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) )
91 csbov2g ( 𝐿 ∈ ℕ0 𝐿 / 𝑘 ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) = ( 𝑀 𝐿 / 𝑘 ( 𝑘 𝑋 ) ) )
92 csbov1g ( 𝐿 ∈ ℕ0 𝐿 / 𝑘 ( 𝑘 𝑋 ) = ( 𝐿 / 𝑘 𝑘 𝑋 ) )
93 csbvarg ( 𝐿 ∈ ℕ0 𝐿 / 𝑘 𝑘 = 𝐿 )
94 93 oveq1d ( 𝐿 ∈ ℕ0 → ( 𝐿 / 𝑘 𝑘 𝑋 ) = ( 𝐿 𝑋 ) )
95 92 94 eqtrd ( 𝐿 ∈ ℕ0 𝐿 / 𝑘 ( 𝑘 𝑋 ) = ( 𝐿 𝑋 ) )
96 95 oveq2d ( 𝐿 ∈ ℕ0 → ( 𝑀 𝐿 / 𝑘 ( 𝑘 𝑋 ) ) = ( 𝑀 ( 𝐿 𝑋 ) ) )
97 91 96 eqtrd ( 𝐿 ∈ ℕ0 𝐿 / 𝑘 ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) = ( 𝑀 ( 𝐿 𝑋 ) ) )
98 97 ad2antll ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → 𝐿 / 𝑘 ( 𝑀 ( 𝑘 𝑋 ) ) = ( 𝑀 ( 𝐿 𝑋 ) ) )
99 21 90 98 3eqtrd ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ) ∧ ( 𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( ( 𝐿 𝐸 𝑌 ) · ( 𝑇𝑀 ) ) ) = ( 𝑀 ( 𝐿 𝑋 ) ) )