Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mpfind.cb |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑆 ) |
2 |
|
mpfind.cp |
⊢ + = ( +g ‘ 𝑆 ) |
3 |
|
mpfind.ct |
⊢ · = ( .r ‘ 𝑆 ) |
4 |
|
mpfind.cq |
⊢ 𝑄 = ran ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) |
5 |
|
mpfind.ad |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 𝜂 ) ) ) → 𝜁 ) |
6 |
|
mpfind.mu |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 𝜂 ) ) ) → 𝜎 ) |
7 |
|
mpfind.wa |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) × { 𝑓 } ) → ( 𝜓 ↔ 𝜒 ) ) |
8 |
|
mpfind.wb |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑓 ) ) → ( 𝜓 ↔ 𝜃 ) ) |
9 |
|
mpfind.wc |
⊢ ( 𝑥 = 𝑓 → ( 𝜓 ↔ 𝜏 ) ) |
10 |
|
mpfind.wd |
⊢ ( 𝑥 = 𝑔 → ( 𝜓 ↔ 𝜂 ) ) |
11 |
|
mpfind.we |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) → ( 𝜓 ↔ 𝜁 ) ) |
12 |
|
mpfind.wf |
⊢ ( 𝑥 = ( 𝑓 ∘f · 𝑔 ) → ( 𝜓 ↔ 𝜎 ) ) |
13 |
|
mpfind.wg |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( 𝜓 ↔ 𝜌 ) ) |
14 |
|
mpfind.co |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑅 ) → 𝜒 ) |
15 |
|
mpfind.pr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐼 ) → 𝜃 ) |
16 |
|
mpfind.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑄 ) |
17 |
16 4
|
eleqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ran ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ) |
18 |
4
|
mpfrcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑄 → ( 𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ ( SubRing ‘ 𝑆 ) ) ) |
19 |
16 18
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ ( SubRing ‘ 𝑆 ) ) ) |
20 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) = ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) |
21 |
|
eqid |
⊢ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) = ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) |
22 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) = ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) |
23 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) = ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) |
24 |
20 21 22 23 1
|
evlsrhm |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ ( SubRing ‘ 𝑆 ) ) → ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∈ ( ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) RingHom ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ) |
25 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) = ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) |
26 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) = ( Base ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) |
27 |
25 26
|
rhmf |
⊢ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∈ ( ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) RingHom ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) : ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ⟶ ( Base ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ) |
28 |
19 24 27
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) : ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ⟶ ( Base ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ) |
29 |
28
|
ffnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) Fn ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
30 |
|
fvelrnb |
⊢ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) Fn ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( 𝐴 ∈ ran ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑦 ) = 𝐴 ) ) |
31 |
29 30
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∈ ran ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑦 ) = 𝐴 ) ) |
32 |
17 31
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑦 ) = 𝐴 ) |
33 |
28
|
ffund |
⊢ ( 𝜑 → Fun ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ) |
34 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) |
35 |
|
eqid |
⊢ ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) = ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) |
36 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) = ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) |
37 |
|
eqid |
⊢ ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) = ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) |
38 |
|
eqid |
⊢ ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) = ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) |
39 |
19
|
simp1d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ V ) |
40 |
19
|
simp2d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ CRing ) |
41 |
19
|
simp3d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( SubRing ‘ 𝑆 ) ) |
42 |
22
|
subrgcrng |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ ( SubRing ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ∈ CRing ) |
43 |
40 41 42
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ∈ CRing ) |
44 |
|
crngring |
⊢ ( ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ∈ CRing → ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ∈ Ring ) |
45 |
43 44
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ∈ Ring ) |
46 |
21 39 45
|
mplringd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ∈ Ring ) |
47 |
46
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ∈ Ring ) |
48 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
49 |
|
elpreima |
⊢ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) Fn ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
50 |
29 49
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
51 |
50
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
52 |
48 51
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
53 |
52
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
54 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
55 |
|
elpreima |
⊢ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) Fn ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
56 |
29 55
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
57 |
56
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
58 |
54 57
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
59 |
58
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
60 |
25 36
|
ringacl |
⊢ ( ( ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
61 |
47 53 59 60
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
62 |
|
rhmghm |
⊢ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∈ ( ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) RingHom ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∈ ( ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) GrpHom ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ) |
63 |
19 24 62
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∈ ( ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) GrpHom ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ) |
64 |
63
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∈ ( ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) GrpHom ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ) |
65 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) = ( +g ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) |
66 |
25 36 65
|
ghmlin |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∈ ( ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) GrpHom ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ) = ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ( +g ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
67 |
64 53 59 66
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ) = ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ( +g ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
68 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → 𝑆 ∈ CRing ) |
69 |
|
ovexd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ∈ V ) |
70 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) : ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ⟶ ( Base ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ) |
71 |
70 53
|
ffvelcdmd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ) |
72 |
70 59
|
ffvelcdmd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ) |
73 |
23 26 68 69 71 72 2 65
|
pwsplusgval |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ( +g ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f + ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
74 |
67 73
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ) = ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f + ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
75 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → 𝜑 ) |
76 |
|
fnfvelrn |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) Fn ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ ran ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ) |
77 |
29 53 76
|
syl2an2r |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ ran ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ) |
78 |
77 4
|
eleqtrrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ 𝑄 ) |
79 |
|
fvimacnvi |
⊢ ( ( Fun ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
80 |
33 48 79
|
syl2an2r |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
81 |
78 80
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
82 |
|
fnfvelrn |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) Fn ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ ran ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ) |
83 |
29 59 82
|
syl2an2r |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ ran ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ) |
84 |
83 4
|
eleqtrrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝑄 ) |
85 |
|
fvimacnvi |
⊢ ( ( Fun ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
86 |
33 54 85
|
syl2an2r |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
87 |
84 86
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
88 |
|
fvex |
⊢ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ V |
89 |
|
fvex |
⊢ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ V |
90 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑓 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) → ( 𝑓 ∈ 𝑄 ↔ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ 𝑄 ) ) |
91 |
|
vex |
⊢ 𝑓 ∈ V |
92 |
91 9
|
elab |
⊢ ( 𝑓 ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ 𝜏 ) |
93 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑓 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) → ( 𝑓 ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
94 |
92 93
|
bitr3id |
⊢ ( 𝑓 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) → ( 𝜏 ↔ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
95 |
90 94
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑓 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) → ( ( 𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏 ) ↔ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
96 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑔 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) → ( 𝑔 ∈ 𝑄 ↔ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝑄 ) ) |
97 |
|
vex |
⊢ 𝑔 ∈ V |
98 |
97 10
|
elab |
⊢ ( 𝑔 ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ 𝜂 ) |
99 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑔 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) → ( 𝑔 ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
100 |
98 99
|
bitr3id |
⊢ ( 𝑔 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) → ( 𝜂 ↔ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
101 |
96 100
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑔 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) → ( ( 𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 𝜂 ) ↔ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
102 |
95 101
|
bi2anan9 |
⊢ ( ( 𝑓 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∧ 𝑔 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 𝜂 ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) ) |
103 |
102
|
anbi2d |
⊢ ( ( 𝑓 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∧ 𝑔 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 𝜂 ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) ) ) |
104 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ∈ V |
105 |
104 11
|
elab |
⊢ ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ 𝜁 ) |
106 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑓 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∧ 𝑔 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) = ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f + ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
107 |
106
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑓 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∧ 𝑔 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑓 ∘f + 𝑔 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f + ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
108 |
105 107
|
bitr3id |
⊢ ( ( 𝑓 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∧ 𝑔 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝜁 ↔ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f + ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
109 |
103 108
|
imbi12d |
⊢ ( ( 𝑓 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∧ 𝑔 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 𝜂 ) ) ) → 𝜁 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f + ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
110 |
88 89 109 5
|
vtocl2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f + ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
111 |
75 81 87 110
|
syl12anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f + ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
112 |
74 111
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
113 |
|
elpreima |
⊢ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) Fn ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
114 |
29 113
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
115 |
114
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
116 |
61 112 115
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
117 |
116
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( 𝑖 ( +g ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
118 |
25 37
|
ringcl |
⊢ ( ( ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
119 |
47 53 59 118
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
120 |
|
eqid |
⊢ ( mulGrp ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) = ( mulGrp ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) |
121 |
|
eqid |
⊢ ( mulGrp ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) = ( mulGrp ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) |
122 |
120 121
|
rhmmhm |
⊢ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∈ ( ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) RingHom ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) → ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∈ ( ( mulGrp ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) MndHom ( mulGrp ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ) ) |
123 |
19 24 122
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∈ ( ( mulGrp ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) MndHom ( mulGrp ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ) ) |
124 |
123
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∈ ( ( mulGrp ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) MndHom ( mulGrp ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ) ) |
125 |
120 25
|
mgpbas |
⊢ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
126 |
120 37
|
mgpplusg |
⊢ ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) = ( +g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
127 |
|
eqid |
⊢ ( .r ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) = ( .r ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) |
128 |
121 127
|
mgpplusg |
⊢ ( .r ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) = ( +g ‘ ( mulGrp ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ) |
129 |
125 126 128
|
mhmlin |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∈ ( ( mulGrp ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) MndHom ( mulGrp ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ) = ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ( .r ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
130 |
124 53 59 129
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ) = ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ( .r ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
131 |
23 26 68 69 71 72 3 127
|
pwsmulrval |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ( .r ‘ ( 𝑆 ↑s ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ) ) ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f · ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
132 |
130 131
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ) = ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f · ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
133 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑓 ∘f · 𝑔 ) ∈ V |
134 |
133 12
|
elab |
⊢ ( ( 𝑓 ∘f · 𝑔 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ 𝜎 ) |
135 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑓 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∧ 𝑔 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑓 ∘f · 𝑔 ) = ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f · ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
136 |
135
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑓 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∧ 𝑔 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝑓 ∘f · 𝑔 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f · ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
137 |
134 136
|
bitr3id |
⊢ ( ( 𝑓 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∧ 𝑔 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝜎 ↔ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f · ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
138 |
103 137
|
imbi12d |
⊢ ( ( 𝑓 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∧ 𝑔 = ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑄 ∧ 𝜏 ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 𝜂 ) ) ) → 𝜎 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f · ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
139 |
88 89 138 6
|
vtocl2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝑄 ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f · ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
140 |
75 81 87 139
|
syl12anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∘f · ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
141 |
132 140
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
142 |
|
elpreima |
⊢ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) Fn ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
143 |
29 142
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
144 |
143
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
145 |
119 141 144
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
146 |
145
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ∧ 𝑗 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) → ( 𝑖 ( .r ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) 𝑗 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
147 |
21
|
mplassa |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ V ∧ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ∈ CRing ) → ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ∈ AssAlg ) |
148 |
39 43 147
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ∈ AssAlg ) |
149 |
|
eqid |
⊢ ( Scalar ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) = ( Scalar ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) |
150 |
38 149
|
asclrhm |
⊢ ( ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ∈ AssAlg → ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( Scalar ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) RingHom ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
151 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
152 |
151 25
|
rhmf |
⊢ ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∈ ( ( Scalar ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) RingHom ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) : ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) ⟶ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
153 |
148 150 152
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) : ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) ⟶ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
154 |
153
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) : ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) ⟶ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
155 |
21 39 43
|
mplsca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) = ( Scalar ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
156 |
155
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) ) |
157 |
156
|
eleq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ↔ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) ) ) |
158 |
157
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) ) |
159 |
154 158
|
ffvelcdmd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
160 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → 𝐼 ∈ V ) |
161 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → 𝑆 ∈ CRing ) |
162 |
41
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → 𝑅 ∈ ( SubRing ‘ 𝑆 ) ) |
163 |
1
|
subrgss |
⊢ ( 𝑅 ∈ ( SubRing ‘ 𝑆 ) → 𝑅 ⊆ 𝐵 ) |
164 |
22 1
|
ressbas2 |
⊢ ( 𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) |
165 |
41 163 164
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 = ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) |
166 |
165
|
eleq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑖 ∈ 𝑅 ↔ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
167 |
166
|
biimpar |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → 𝑖 ∈ 𝑅 ) |
168 |
20 21 22 1 38 160 161 162 167
|
evlssca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) × { 𝑖 } ) ) |
169 |
14
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑓 ∈ 𝑅 𝜒 ) |
170 |
|
ovex |
⊢ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ∈ V |
171 |
|
vsnex |
⊢ { 𝑓 } ∈ V |
172 |
170 171
|
xpex |
⊢ ( ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) × { 𝑓 } ) ∈ V |
173 |
172 7
|
elab |
⊢ ( ( ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) × { 𝑓 } ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ 𝜒 ) |
174 |
|
sneq |
⊢ ( 𝑓 = 𝑖 → { 𝑓 } = { 𝑖 } ) |
175 |
174
|
xpeq2d |
⊢ ( 𝑓 = 𝑖 → ( ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) × { 𝑓 } ) = ( ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) × { 𝑖 } ) ) |
176 |
175
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑓 = 𝑖 → ( ( ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) × { 𝑓 } ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ ( ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) × { 𝑖 } ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
177 |
173 176
|
bitr3id |
⊢ ( 𝑓 = 𝑖 → ( 𝜒 ↔ ( ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) × { 𝑖 } ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
178 |
177
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ 𝑅 𝜒 ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑅 ( ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) × { 𝑖 } ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
179 |
169 178
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ 𝑅 ( ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) × { 𝑖 } ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
180 |
179
|
r19.21bi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑅 ) → ( ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) × { 𝑖 } ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
181 |
167 180
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) × { 𝑖 } ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
182 |
168 181
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
183 |
|
elpreima |
⊢ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) Fn ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
184 |
29 183
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
185 |
184
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
186 |
159 182 185
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
187 |
186
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( Base ‘ ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
188 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → 𝐼 ∈ V ) |
189 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ∈ Ring ) |
190 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → 𝑖 ∈ 𝐼 ) |
191 |
21 35 25 188 189 190
|
mvrcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
192 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → 𝑆 ∈ CRing ) |
193 |
41
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ ( SubRing ‘ 𝑆 ) ) |
194 |
20 35 22 1 188 192 193 190
|
evlsvar |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) ) ) |
195 |
170
|
mptex |
⊢ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑓 ) ) ∈ V |
196 |
195 8
|
elab |
⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑓 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ 𝜃 ) |
197 |
15 196
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑓 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
198 |
197
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑓 ∈ 𝐼 ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑓 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
199 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑓 = 𝑖 → ( 𝑔 ‘ 𝑓 ) = ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) ) |
200 |
199
|
mpteq2dv |
⊢ ( 𝑓 = 𝑖 → ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) ) ) |
201 |
200
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑓 = 𝑖 → ( ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑓 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
202 |
201
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ 𝐼 ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑓 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
203 |
198 202
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
204 |
203
|
r19.21bi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) ↦ ( 𝑔 ‘ 𝑖 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
205 |
194 204
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ‘ 𝑖 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
206 |
|
elpreima |
⊢ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) Fn ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( ( ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ‘ 𝑖 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
207 |
29 206
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( ( ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ‘ 𝑖 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
208 |
207
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ↔ ( ( ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ‘ 𝑖 ) ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) ) |
209 |
191 205 208
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
210 |
209
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐼 mVar ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
211 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) |
212 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) → 𝐼 ∈ V ) |
213 |
43
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ∈ CRing ) |
214 |
34 35 21 36 37 38 25 117 146 187 210 211 212 213
|
mplind |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
215 |
|
fvimacnvi |
⊢ ( ( Fun ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ◡ ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) “ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑦 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
216 |
33 214 215
|
syl2an2r |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑦 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
217 |
|
eleq1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑦 ) = 𝐴 → ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑦 ) ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ 𝐴 ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
218 |
216 217
|
syl5ibcom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑦 ) = 𝐴 → 𝐴 ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
219 |
218
|
rexlimdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑦 ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly ( 𝑆 ↾s 𝑅 ) ) ) ( ( ( 𝐼 evalSub 𝑆 ) ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑦 ) = 𝐴 → 𝐴 ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) ) |
220 |
32 219
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ) |
221 |
13
|
elabg |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑄 → ( 𝐴 ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ 𝜌 ) ) |
222 |
16 221
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∈ { 𝑥 ∣ 𝜓 } ↔ 𝜌 ) ) |
223 |
220 222
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → 𝜌 ) |