Theorem muladd11

Description: A simple product of sums expansion. (Contributed by NM, 21-Feb-2005)

	Ref	Expression
Assertion	muladd11	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 1 + 𝐴 ) · ( 1 + 𝐵 ) ) = ( ( 1 + 𝐴 ) + ( 𝐵 + ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn	⊢ 1 ∈ ℂ
2		addcl	⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( 1 + 𝐴 ) ∈ ℂ )
3	1 2	mpan	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 + 𝐴 ) ∈ ℂ )
4		adddi	⊢ ( ( ( 1 + 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 1 + 𝐴 ) · ( 1 + 𝐵 ) ) = ( ( ( 1 + 𝐴 ) · 1 ) + ( ( 1 + 𝐴 ) · 𝐵 ) ) )
5	1 4	mp3an2	⊢ ( ( ( 1 + 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 1 + 𝐴 ) · ( 1 + 𝐵 ) ) = ( ( ( 1 + 𝐴 ) · 1 ) + ( ( 1 + 𝐴 ) · 𝐵 ) ) )
6	3 5	sylan	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 1 + 𝐴 ) · ( 1 + 𝐵 ) ) = ( ( ( 1 + 𝐴 ) · 1 ) + ( ( 1 + 𝐴 ) · 𝐵 ) ) )
7	3	mulid1d	⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 1 + 𝐴 ) · 1 ) = ( 1 + 𝐴 ) )
8	7	adantr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 1 + 𝐴 ) · 1 ) = ( 1 + 𝐴 ) )
9		adddir	⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 1 + 𝐴 ) · 𝐵 ) = ( ( 1 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
10	1 9	mp3an1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 1 + 𝐴 ) · 𝐵 ) = ( ( 1 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
11		mulid2	⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( 1 · 𝐵 ) = 𝐵 )
12	11	adantl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 1 · 𝐵 ) = 𝐵 )
13	12	oveq1d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 1 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( 𝐵 + ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
14	10 13	eqtrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 1 + 𝐴 ) · 𝐵 ) = ( 𝐵 + ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
15	8 14	oveq12d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( 1 + 𝐴 ) · 1 ) + ( ( 1 + 𝐴 ) · 𝐵 ) ) = ( ( 1 + 𝐴 ) + ( 𝐵 + ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) )
16	6 15	eqtrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 1 + 𝐴 ) · ( 1 + 𝐵 ) ) = ( ( 1 + 𝐴 ) + ( 𝐵 + ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) )