Metamath Proof Explorer


Theorem mulasspr

Description: Multiplication of positive reals is associative. Proposition 9-3.7(i) of Gleason p. 124. (Contributed by NM, 18-Mar-1996) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion mulasspr ( ( ๐ด ยทP ๐ต ) ยทP ๐ถ ) = ( ๐ด ยทP ( ๐ต ยทP ๐ถ ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-mp โŠข ยทP = ( ๐‘ค โˆˆ P , ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ { ๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ค โˆƒ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฃ ๐‘ฅ = ( ๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง ) } )
2 mulclnq โŠข ( ( ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q ) โ†’ ( ๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง ) โˆˆ Q )
3 dmmp โŠข dom ยทP = ( P ร— P )
4 mulclpr โŠข ( ( ๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P ) โ†’ ( ๐‘“ ยทP ๐‘” ) โˆˆ P )
5 mulassnq โŠข ( ( ๐‘“ ยทQ ๐‘” ) ยทQ โ„Ž ) = ( ๐‘“ ยทQ ( ๐‘” ยทQ โ„Ž ) )
6 1 2 3 4 5 genpass โŠข ( ( ๐ด ยทP ๐ต ) ยทP ๐ถ ) = ( ๐ด ยทP ( ๐ต ยทP ๐ถ ) )