Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mulgnndir.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
mulgnndir.t |
⊢ · = ( .g ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
mulgnndir.p |
⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝐺 ∈ Grp ) |
5 |
|
grpmnd |
⊢ ( 𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd ) |
6 |
4 5
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
7 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
8 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
9 |
|
simpl23 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
10 |
1 2 3
|
mulgnn0dir |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
11 |
6 7 8 9 10
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
12 |
11
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
13 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝐺 ∈ Grp ) |
14 |
|
simp22 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
15 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
16 |
|
simpl23 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
17 |
|
eqid |
⊢ ( invg ‘ 𝐺 ) = ( invg ‘ 𝐺 ) |
18 |
1 2 17
|
mulgneg |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( - 𝑁 · 𝑋 ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
19 |
13 15 16 18
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( - 𝑁 · 𝑋 ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
20 |
19
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( - 𝑁 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
21 |
1 2
|
mulgcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
22 |
13 15 16 21
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
23 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝐺 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
24 |
1 3 23 17
|
grplinv |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
25 |
13 22 24
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
26 |
20 25
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( - 𝑁 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
27 |
26
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) + ( ( - 𝑁 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) = ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) + ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ) |
28 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
29 |
|
nn0z |
⊢ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
30 |
28 29
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
31 |
1 2
|
mulgcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
32 |
13 30 16 31
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
33 |
1 3 23
|
grprid |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) + ( 0g ‘ 𝐺 ) ) = ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) |
34 |
13 32 33
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) + ( 0g ‘ 𝐺 ) ) = ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) |
35 |
27 34
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) + ( ( - 𝑁 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) |
36 |
|
nn0z |
⊢ ( - 𝑁 ∈ ℕ0 → - 𝑁 ∈ ℤ ) |
37 |
36
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → - 𝑁 ∈ ℤ ) |
38 |
1 2
|
mulgcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ - 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( - 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
39 |
13 37 16 38
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( - 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
40 |
1 3
|
grpass |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( - 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) + ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) + ( ( - 𝑁 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
41 |
13 32 39 22 40
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) + ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) + ( ( - 𝑁 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
42 |
13 5
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
43 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → - 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
44 |
1 2 3
|
mulgnn0dir |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) + - 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) + ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
45 |
42 28 43 16 44
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) + - 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) + ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
46 |
|
simp21 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
47 |
46
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
48 |
14
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
49 |
47 48
|
addcld |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
50 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
51 |
48
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
52 |
50 51
|
negsubd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) + - 𝑁 ) = ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) ) |
53 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
54 |
53 51
|
pncand |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) = 𝑀 ) |
55 |
52 54
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) + - 𝑁 ) = 𝑀 ) |
56 |
55
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) + - 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( 𝑀 · 𝑋 ) ) |
57 |
45 56
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) + ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( 𝑀 · 𝑋 ) ) |
58 |
57
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) + ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
59 |
41 58
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) + ( ( - 𝑁 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
60 |
35 59
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
61 |
60
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
62 |
|
elznn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ ↔ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) ) |
63 |
62
|
simprbi |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) |
64 |
14 63
|
syl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) |
65 |
64
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑁 ∈ ℕ0 ) ) |
66 |
12 61 65
|
mpjaodan |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
67 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 𝐺 ∈ Grp ) |
68 |
46
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
69 |
|
simpl23 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
70 |
1 2
|
mulgcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑀 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
71 |
67 68 69 70
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
72 |
68
|
znegcld |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → - 𝑀 ∈ ℤ ) |
73 |
1 2
|
mulgcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ - 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( - 𝑀 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
74 |
67 72 69 73
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( - 𝑀 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
75 |
29
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
76 |
75
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
77 |
67 76 69 31
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
78 |
1 3
|
grpass |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( ( 𝑀 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( - 𝑀 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( - 𝑀 · 𝑋 ) ) + ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( ( - 𝑀 · 𝑋 ) + ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) ) ) |
79 |
67 71 74 77 78
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( - 𝑀 · 𝑋 ) ) + ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( ( - 𝑀 · 𝑋 ) + ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) ) ) |
80 |
1 2 17
|
mulgneg |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( - 𝑀 · 𝑋 ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑀 · 𝑋 ) ) ) |
81 |
67 68 69 80
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( - 𝑀 · 𝑋 ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑀 · 𝑋 ) ) ) |
82 |
81
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( - 𝑀 · 𝑋 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑀 · 𝑋 ) ) ) ) |
83 |
1 3 23 17
|
grprinv |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑀 · 𝑋 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
84 |
67 71 83
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑀 · 𝑋 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
85 |
82 84
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( - 𝑀 · 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
86 |
85
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( - 𝑀 · 𝑋 ) ) + ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) = ( ( 0g ‘ 𝐺 ) + ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) ) |
87 |
1 3 23
|
grplid |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 0g ‘ 𝐺 ) + ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) = ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) |
88 |
67 77 87
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 0g ‘ 𝐺 ) + ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) = ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) |
89 |
86 88
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( - 𝑀 · 𝑋 ) ) + ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) = ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) |
90 |
67 5
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
91 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → - 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
92 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
93 |
1 2 3
|
mulgnn0dir |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( - 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( - 𝑀 + ( 𝑀 + 𝑁 ) ) · 𝑋 ) = ( ( - 𝑀 · 𝑋 ) + ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) ) |
94 |
90 91 92 69 93
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( - 𝑀 + ( 𝑀 + 𝑁 ) ) · 𝑋 ) = ( ( - 𝑀 · 𝑋 ) + ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) ) |
95 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
96 |
95
|
negcld |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → - 𝑀 ∈ ℂ ) |
97 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
98 |
96 97
|
addcomd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( - 𝑀 + ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = ( ( 𝑀 + 𝑁 ) + - 𝑀 ) ) |
99 |
97 95
|
negsubd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) + - 𝑀 ) = ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) |
100 |
48
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
101 |
95 100
|
pncan2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) = 𝑁 ) |
102 |
98 99 101
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( - 𝑀 + ( 𝑀 + 𝑁 ) ) = 𝑁 ) |
103 |
102
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( - 𝑀 + ( 𝑀 + 𝑁 ) ) · 𝑋 ) = ( 𝑁 · 𝑋 ) ) |
104 |
94 103
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( - 𝑀 · 𝑋 ) + ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) = ( 𝑁 · 𝑋 ) ) |
105 |
104
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( ( - 𝑀 · 𝑋 ) + ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
106 |
79 89 105
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
107 |
|
elznn0 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ ↔ ( 𝑀 ∈ ℝ ∧ ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) ) ) |
108 |
107
|
simprbi |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) ) |
109 |
46 108
|
syl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 ∈ ℕ0 ∨ - 𝑀 ∈ ℕ0 ) ) |
110 |
66 106 109
|
mpjaodan |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) + ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |