Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mulgsubdir.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
mulgsubdir.t |
⊢ · = ( .g ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
mulgsubdir.d |
⊢ − = ( -g ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
znegcl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → - 𝑁 ∈ ℤ ) |
5 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝐺 ) = ( +g ‘ 𝐺 ) |
6 |
1 2 5
|
mulgdir |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ - 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 + - 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
7 |
4 6
|
syl3anr2 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 + - 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
8 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
9 |
8
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
10 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
11 |
10
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
12 |
9 11
|
negsubd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑀 + - 𝑁 ) = ( 𝑀 − 𝑁 ) ) |
13 |
12
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 + - 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑀 − 𝑁 ) · 𝑋 ) ) |
14 |
|
eqid |
⊢ ( invg ‘ 𝐺 ) = ( invg ‘ 𝐺 ) |
15 |
1 2 14
|
mulgneg |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( - 𝑁 · 𝑋 ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
16 |
15
|
3adant3r1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( - 𝑁 · 𝑋 ) = ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
17 |
16
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
18 |
1 2
|
mulgcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑀 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
19 |
18
|
3adant3r2 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑀 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
20 |
1 2
|
mulgcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
21 |
20
|
3adant3r1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
22 |
1 5 14 3
|
grpsubval |
⊢ ( ( ( 𝑀 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑁 · 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑀 · 𝑋 ) − ( 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
23 |
19 21 22
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝑋 ) − ( 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( ( invg ‘ 𝐺 ) ‘ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) ) |
24 |
17 23
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝑋 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( - 𝑁 · 𝑋 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) − ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |
25 |
7 13 24
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑀 − 𝑁 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑀 · 𝑋 ) − ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) |