mulsasslem2

Description: Lemma for mulsass . Expand the right hand side of the formula. (Contributed by Scott Fenton, 9-Mar-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	mulsasslem.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ No )
	mulsasslem.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ No )
	mulsasslem.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ No )
Assertion	mulsasslem2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) = ( ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ) ∪ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ) ) \|s ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ) ∪ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulsasslem.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		mulsasslem.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		mulsasslem.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		lltropt	⊢ ( L ‘ 𝐴 ) <<s ( R ‘ 𝐴 )
5	4	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( L ‘ 𝐴 ) <<s ( R ‘ 𝐴 ) )
6	2 3	mulscut2	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) <<s ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) )
7		lrcut	⊢ ( 𝐴 ∈ No → ( ( L ‘ 𝐴 ) \|s ( R ‘ 𝐴 ) ) = 𝐴 )
8	1 7	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( L ‘ 𝐴 ) \|s ( R ‘ 𝐴 ) ) = 𝐴 )
9	8	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( ( L ‘ 𝐴 ) \|s ( R ‘ 𝐴 ) ) )
10		mulsval2	⊢ ( ( 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) = ( ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) \|s ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) ) )
11	2 3 10	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) = ( ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) \|s ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) ) )
12	5 6 9 11	mulsunif	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) = ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) } ) \|s ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) } ) ) )
13		unab	⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) }
14		r19.43	⊢ ( ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) )
15		rexun	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
16		eqeq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ↔ 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) )
17	16	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) )
18	17	rexab	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
19		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
20		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
21		ovex	⊢ ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∈ V
22		oveq2	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) = ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) )
23	22	oveq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
24		oveq2	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) = ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) )
25	23 24	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
26	25	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) )
27	21 26	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
28	27	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
29	20 28	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
30	29	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
31		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
32	31	exbii	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
33	19 30 32	3bitr3ri	⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
34	18 33	bitri	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
35		eqeq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ↔ 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) )
36	35	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) )
37	36	rexab	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
38		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
39		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
40		ovex	⊢ ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∈ V
41		oveq2	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) = ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) )
42	41	oveq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
43		oveq2	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) = ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) )
44	42 43	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
45	44	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) )
46	40 45	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
47	46	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
48	39 47	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
49	48	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
50		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
51	50	exbii	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
52	38 49 51	3bitr3ri	⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
53	37 52	bitri	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
54	34 53	orbi12i	⊢ ( ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) )
55	15 54	bitr2i	⊢ ( ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) )
56	55	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) )
57	14 56	bitr3i	⊢ ( ( ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) )
58	57	abbii	⊢ { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) } = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) }
59	13 58	eqtri	⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) }
60		unab	⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) }
61		r19.43	⊢ ( ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) )
62		rexun	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
63		eqeq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ↔ 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) )
64	63	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) )
65	64	rexab	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
66		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
67		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
68		ovex	⊢ ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∈ V
69		oveq2	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) = ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) )
70	69	oveq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
71		oveq2	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) = ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) )
72	70 71	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
73	72	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) )
74	68 73	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
75	74	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
76	67 75	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
77	76	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
78		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
79	78	exbii	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
80	66 77 79	3bitr3ri	⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
81	65 80	bitri	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
82		eqeq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ↔ 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) )
83	82	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = 𝑡 → ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) )
84	83	rexab	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
85		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
86		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
87		ovex	⊢ ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∈ V
88		oveq2	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) = ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) )
89	88	oveq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
90		oveq2	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) = ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) )
91	89 90	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
92	91	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) )
93	87 92	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
94	93	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
95	86 94	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
96	95	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
97		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
98	97	exbii	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
99	85 96 98	3bitr3ri	⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
100	84 99	bitri	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
101	81 100	orbi12i	⊢ ( ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) )
102	62 101	bitr2i	⊢ ( ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) )
103	102	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) )
104	61 103	bitr3i	⊢ ( ( ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) )
105	104	abbii	⊢ { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) } = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) }
106	60 105	eqtri	⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) }
107	59 106	uneq12i	⊢ ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ) ∪ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ) ) = ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) } )
108		unab	⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) }
109		r19.43	⊢ ( ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) )
110		rexun	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
111	64	rexab	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
112		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
113		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
114	69	oveq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
115		oveq2	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) = ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) )
116	114 115	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
117	116	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) )
118	68 117	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
119	118	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
120	113 119	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
121	120	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
122		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
123	122	exbii	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
124	112 121 123	3bitr3ri	⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
125	111 124	bitri	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
126	83	rexab	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
127		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
128		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
129	88	oveq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
130		oveq2	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) = ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) )
131	129 130	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
132	131	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) )
133	87 132	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
134	133	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
135	128 134	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
136	135	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
137		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
138	137	exbii	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) )
139	127 136 138	3bitr3ri	⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
140	126 139	bitri	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
141	125 140	orbi12i	⊢ ( ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) )
142	110 141	bitr2i	⊢ ( ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) )
143	142	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) )
144	109 143	bitr3i	⊢ ( ( ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) )
145	144	abbii	⊢ { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) } = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) }
146	108 145	eqtri	⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) }
147		unab	⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) }
148		r19.43	⊢ ( ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) )
149		rexun	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
150	17	rexab	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
151		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
152		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
153	22	oveq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
154		oveq2	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) = ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) )
155	153 154	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
156	155	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ) )
157	21 156	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
158	157	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
159	152 158	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
160	159	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
161		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
162	161	exbii	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
163	151 160 162	3bitr3ri	⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
164	150 163	bitri	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) )
165	36	rexab	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
166		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
167		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
168	41	oveq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
169		oveq2	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) = ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) )
170	168 169	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
171	170	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) )
172	40 171	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
173	172	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ∃ 𝑡 ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
174	167 173	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
175	174	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
176		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
177	176	exbii	⊢ ( ∃ 𝑡 ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) ( 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) )
178	166 175 177	3bitr3ri	⊢ ( ∃ 𝑡 ( ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑡 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ∧ 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
179	165 178	bitri	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) )
180	164 179	orbi12i	⊢ ( ( ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ∨ ∃ 𝑡 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) )
181	149 180	bitr2i	⊢ ( ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) )
182	181	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) )
183	148 182	bitr3i	⊢ ( ( ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) )
184	183	abbii	⊢ { 𝑎 ∣ ( ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) ∨ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) ) } = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) }
185	147 184	eqtri	⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ) = { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) }
186	146 185	uneq12i	⊢ ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ) ∪ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ) ) = ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) } )
187	107 186	oveq12i	⊢ ( ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ) ∪ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ) ) \|s ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ) ∪ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ) ) ) = ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) } ) \|s ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s 𝑡 ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑏 = ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) } ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑡 ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s 𝑡 ) ) } ) )
188	12 187	eqtr4di	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) = ( ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ) ∪ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ) ) \|s ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝐿 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝐿 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ) ∪ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝐿 ∈ ( L ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) -_s ( 𝑦_𝐿 ·_s 𝑧_𝐿 ) ) ) ) } ∪ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑥_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧_𝑅 ∈ ( R ‘ 𝐶 ) 𝑎 = ( ( ( 𝑥_𝑅 ·_s ( 𝐵 ·_s 𝐶 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) -_s ( 𝑥_𝑅 ·_s ( ( ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝐶 ) +_s ( 𝐵 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) -_s ( 𝑦_𝑅 ·_s 𝑧_𝑅 ) ) ) ) } ) ) ) )

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Theorem mulsasslem2

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